Módosítva: 2007. március 30.

Részletesebb ismertetés a magyarországi vetületi rendszerekről:
A vetületnélküli rendszerektől az UTM-ig

  Honlapom nyitóoldalára


Tartalomjegyzék

A vetítés fogalma
A földalakot helyettesítő felületek
Geodéziai alapfelületek

Gömb
Forgási ellipszoid
Kettős vetítés
Vetületnélküli rendszerek
Sztereografikus vetületi rendszerek
Ferdetengelyű érintő szögtartó hengervetületi rendszerek
Gauss-Krüger-vetület
Egységes Országos Vetület (EOV)
Universal Transverse Mercator (UTM) vetület

Vetületi átszámítások

Átszámítás koordináta módszerrel
Átszámítás azonos pontok alapján
Átszámítás általános hatványsorral
Átszámítási lehetőségek a hazai alapfelületek és vetületi rendszerek között


A vetítés fogalma

Geodéziai méréseinket általában a Föld felszínén (egyes esetekben, pl. földalatti létesítményekben a Föld felszínéhez viszonylag közel) végezzük. Vízszintes értelmű geodéziai méréseink eredményeit legtöbbször síkkoordináta-rendszerben számítjuk és síkon (térképen) ábrázoljuk. Éppen ezért a mérések által szolgáltatott eredményeket (pl. a vízszintes geodéziai hálózat pontjait) síkra kell vetíteni.

Mivel a Föld szabálytalan idom, először olyan idommal kell helyettesítenünk, amely alakját és méreteit tekintve jól megközelíti a Föld felszínét, és matematikai meghatározása viszonylag egyszerű. A vetítés megkezdése előtt mérési eredményeinket erre a Földet helyettesítő felületre az ún. alapfelületre kell vonatkoztatni. Ennek a redukálásnak a végrehajtásával a felsőgeodézia foglalkozik. Ez a művelet elkerülhetetlenül elhanyagolásokkal jár. Az elhanyagolások mértéke annál kisebb, minél jobban megközelíti az alapfelület a Föld fizikai felszínét.

Vetülettani értelemben a vetítés az alapfelületről történik a képfelületre. Itt már nem lehetnek elhanyagolások, mert mindkettő matematikai felület. Ez a vetítés geometriai vagy matematikai törvények szerint történik. Vetítésről a szó szoros értelmében akkor beszélünk, amikor egy kijelölt Q vetítési központból (ami a végtelenben is lehet) kiinduló és az alapfelület vetítendő pontjain átmenő vetítősugarakkal a pontok képét a képfelületen kidöfjük. Ezt a vetítést, amikor a kép geometriai úton is előállítható; perspektív vetítésnek nevezzük. Mivel minden geometriai kapcsolat matematikailag is kifejezhető kimondhatjuk, hogy a perspektív vetítés során a kép mind geometriailag, mind matematikailag előállítható.

A gyakorlatban többnyire nem jelölünk ki vetítési központot, így az alapfelületi adatokból a képfelületre vonatkozókat csak matematikai úton tudjuk meghatározni, geometriailag nem. A vetítés matematikailag mindig elvégezhető, tehát vannak olyan ábrázolási módok (vetületek) is, amelyek geometriai úton jönnek létre, anélkül, hogy vetítési központot jelölnénk ki. A perspektivitás elvét ezért a gyakorlatban csak arra használjuk fel, hogy a vetítés matematikai törvényeit a szemlélet segítségével egyszerűbben állíthassuk fel, mert figyelembe véve, hogy az alapfelület a Föld helyettesítője, a vetítés a gyakorlatban valójában nem hajtható végre.
 

földalakot helyettesítő felületek

Matematikai összefüggések felhasználásával csak akkor tudjuk a vetítést elvégezni, ha az alap- és a képfelület is zárt matematikai képletekkel vagy matematikai sorokkal leírható. A Föld fizikai felszínét megközelítő alapfelület meghatározása a felsőgeodézia feladata. A közelítés megkívánt pontossága a különféle feladatok esetén változik, hiszen a képfelületen való ábrázolás pontossága is függ a megközelítés fokától. Gyakorlati okokból viszont arra törekszünk, hogy az alapfelület egyenletei minél egyszerűbbek legyenek.

A Föld felületéről a képfelületre (általában síkra) való áttérés első lépése tehát megközelítéssel jár, minélfogva elhanyagolásokat kell tudomásul vennünk. Ha viszont a Földet helyettesítő idomban megállapodtunk, a további lépés, a tulajdonképpeni vetítés már szigorú matematikai törvények szerint történik, és csupán a megkívánt pontosságtól függ, hogy a matematikai összefüggések (egyenletek, sorok) számszerű feloldását milyen élességgel kell elvégezni.

A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke megegyezik az átlagos középtengerszintek potenciálértékével. A geoid, mint valamennyi más szintfelület szintén szabálytalan, ezért matematikai összefüggései gyakorlati célokra túl bonyolultak. (A nehézségi erő potenciálfelületei olyan felületek, amelyek minden pontjukban merőlegesek a nehézségi erő irányára. A nehézségi erő a Föld szabálytalan tömegeloszlása következtében szabálytalanul változik, ezért szabálytalanok a szintfelületek is.) A geoid szabálytalan felület, ezért vetületi alapfelületnek nem alkalmas.

A földalak másik - jobban illeszkedő - megközelítője a normálszferoid, amely egy szabályosan változónak képzelt nehézségi erőtér potenciálfelülete, és mint ilyen, matematikailag már meghatározottnak tekinthető. Egyenletei azonban igen bonyolultak, és így alapfelületnek még ez sem alkalmas.

A megközelítés harmadik foka a forgási ellipszoid. (Forgási ellipszoidot akkor kapunk, ha egy ellipszist a kistengelye körül 180° -kal elforgatunk. Az ellipszis által kialakított idom a forgási ellipszoid.) Ha ennek alakját és méreteit helyesen választjuk meg, csak kevéssé tér el a normálszferoidtól. Egyenletei egyszerűbbek, és így a forgási ellipszoid alkalmas arra, hogy földi vetületeink alapfelülete legyen.

Kisebb területek geodéziai felméréséhez a Földet gömbbel helyettesíthetjük. A gömböt úgy vesszük fel, hogy az a forgási ellipszoidot az ábrázolandó terület közepe táján egy pontban másodrendűen érintse. Ebben az esetben ez az ún. közepessugarú gömb a vetítés alapfelülete. Ezt a gömböt a matematikában simulógömbnek vagy Gauss-gömbnek is nevezik. (A simulógömb olyan gömb, amely az ellipszoidot valamely pontjában másodrendűen érinti.)  Másodrendű érintéskor a két felület közös pontjában nemcsak a  z = f (x, y) alakú függvények első differenciálhányadosai értékének, hanem a második differenciálhányadosok értékének is egyenlőknek kell lenniük a két felületre nézve.) Földrajzi (geográfiai) célú ábrázoláshoz - ahol az ábrázolás méretaránya és ennek megfelelően a megkívánt pontosság is kicsi - nagyobb területek, sőt az egész földfelület ábrázolásához is választanak gömböt alapfelületnek.

A gömb azonban nem csak alapfelület, hanem képfelület is lehet, mert előfordul, hogy az ellipszoidról a gömbre vetítünk. Ennek jellegzetes példája a közismert földgömbön való ábrázolás, de a gömbre való vetítést geodéziai vonatkozásban is alkalmazzuk.

Egészen kis kiterjedésű, helyi jellegű felmérésekhez végül a Föld felszínét síkkal helyettesíthetjük, ilyenkor természetesen vetítésre nincs szükség.

A következőkben az itt felsorolt vetületi alap- és képfelületeket az egyszerűbbtől a bonyolultabb felé haladva tárgyaljuk (gömb, forgási ellipszoid).

Meg kell jegyeznünk még, hogy az alapfelületnek választott idom felszínét mindig a tengerszint magasságában levőnek képzeljük el.
 

Geodéziai alapfelületek

Gömb

A gömbfelület  olyan mértani idom, melynek minden pontja azonos R távolságra van egy ponttól, a gömb O középpontjától (1. ábra). A gömb felszínén a gömbi trigonometria törvényszerűségei érvényesek.
A gömb középpontján átmenő egyenesek két pontban metszik a gömb felszínét. Ezek közül az egyenesek közül az egyik átmegy az ábrán  P-vel jelölt északi és déli pólusokon.

1. ábra. Gömbi földrajzi koordináták

Az előbbi átmérőt tartalmazó síkok (meridiánsíkok) a gömb felszínéből meridiánokat metszenek ki. Az ezek közül kiválasztott, megegyezés szerinti meridián az ún. kezdőmeridián.
A gömb középpontján átmenő, és a pólusokat összekötő átmérőre merőleges sík (az egyenlítő síkja) az egyenlítő körét metszi ki a gömb felszínéből. Az egyenlítő síkjával párhuzamos síkok paralelköröket metszenek ki. A meridiánok és az egyenlítő geodéziai vonalak (gömbi főkörök vagy legnagyobb gömbi körök), mert síkjuk átmegy a gömb középpontján. A paralelkörök ezzel szemben, az egyenlítő kivételével gömbi kiskörök. Az egyenlítő olyan paralelkör, amely egyben geodéziai vonal is.
Ezek után valamely gömbfelületi A pont helyzetét a gömbi földrajzi koordinátákkal tudjuk megadni. Azt a szöget, amit a kérdéses pont meridiánjának síkja a kezdőmeridián síkjával bezár, a pont gömbi földrajzi hosszúságának nevezzük, és-val jelöjük. Előjele a kezdőmeridiántól K-re pozitív (keleti hosszúság), Ny-ra negatív (nyugati hosszúság). A meridián valamennyi pontjának földrajzi hosszúsága azonos.
Az A pont normálisa (a pontbeli R sugár) az egyenlítő síkjával szöget zár be, amit a pont gömbi földrajzi szélességének nevezünk. Előjele az egyenlítőtől északra pozitív (északi szélesség), délre pedig negatív (déli szélesség). A paralelkör olyan mértani hely, melynek minden pontjában azonos a földrajzi szélesség.
 

Forgási ellipszoid

Ha egy ellipszist a kistengelye körül forgatunk forgási ellipszoidot (továbbiakban ellipszoid) kapunk (2.ábra) . Az ellipszoidot egyértelműen jellemezhetjük a megforgatott ellipszis a fél-nagytengelyének és b fél-kistengelyének hosszával, vagy ezek egyikének és az ellipszoid alakját jellemző

l = (a - b)/a

 lapultságnak a megadásával.
 

2. ábra. Ellipszoidi földrajzi koordináták


A meridiánokat és a paralelköröket, így a földrajzi koordinátákat az ellipszoidon is hasonlóképpen értelmezzük, mint a gömbön. A különbség annyi, hogy az ellipszoidi meridiánok ellipszisek, és a felszíni pontok N normálisai általában nem mennek át az ellipszoid középpontján. Kivételt képeznek a pólusok és az egyenlítő pontjai, mert az ezekben emelt normálisok átmennek a középponton. Az N-nel jelölt harántgörbületi sugár a felszíni ponttól a pólusokat összekötő átmérőig tart, az egyenlítői pontokban a-val, a  pólusokban b-vel egyenlő.
Ellipszoidon  kezdőmeridiánként a greenwichi meridiánt alkalmazzuk. Korábban Magyarországon is a ferroi meridián volt az elfogadott. Ferro 17o 40' körüli értékkel Ny-ra helyezkedik el Greenwichtől, ezért a ferroi hosszúságok is ilyen értékkel nagyobbak a greenwichinél. Ferroi hosszúságokat a régi földrajzi atlaszokban és a II. világháború előtti topográfiai térképeken tüntettek fel.
A vetülettani összefüggésekben gyakran vegyesen fordulnak elő gömbi és ellipszoidi koordináták, ezért a megkülönböztetésük miatt az ellipszoidi koordinátákat görög nagtbetűkkel jelöljük:

= ellipszoidi földrajzi szélesség
= ellipszoidi földrajzi hosszúság.
Az alábbi táblázatban a Magyarországon geodéziai alapfelületként alkalmazott ellipszoidok adatait foglaljuk össze:
 
Ellipszoid neve
"a"  fél-nagytengely hossza m-ben
"b"  fél kistengely hossza m-ben
"l" lapultság
Bessel
6 377 397,155
6 356 078,963
1/299,152 812 85
Hayford
6 378 388,000
6 356 911,946
1/297
Kraszovszkij
6 378 245,000
6 356 863,019
1/298,3
IUGG1967
6 378 160,000
6 356 774,516
1/298,247 167
WGS1984
6 378 137,000
6 356 752,314
1/298,257 22

1. táblázat. A Magyarországon alkalmazott alapfelületek

A geodéziai vetületek osztályozása

a) Megkülönböztetünk  geometriai úton is előállítható vetületeket (amelyek természetesen matematikailag is leírhatók) és csak matematikai úton előállítható vetületeket.

b) A geometriailag is előállítható vetületeket megkülönböztetjük aszerint, hogy van-e vetítési központ vagy nincs. A vetítési központ lehet állandó (fix), de lehet mozgó is, amikor egy meghatározott vonalon, meghatározott szabály szerint mozog.

c) Az alapfelület lehet ellipszoid vagy gömb, a képfelület pedig gömb vagy sík, illetve síkba fejthető felület, nevezetesen kúp- vagy hengerfelület. Az alapfelület szerint tehát beszélhetünk ellipszoidi- vagy gömbi vetületekről. A képfelület szerint beszélhetünk síkvetületről, amibe beleértjük azt is amikor a vetítés síkba fejthető felületre történik. De lehet az ellipszoidnak gömbi vetülete is, amikor az ún. kettős vetítés első lépésében az ellipszoid felszínéről előbb gömbre, majd a második lépésben arról síkra vagy síkba fejthető felületre vetítünk.
A síkvetületeket három fő csoportba soroljuk: a kúpvetületek, az azimutális (közvetlen sík) vetületek és a hengervetületek csoportjába.

d) A képfelület (kúp, henger, sík) elhelyezése szerint a vetület lehet normális (poláris), ha a képfelületet adó idom tengelye a pólusokat összekötő egyenessel esik egybe. Lehet az elhelyezés egyenlítői (transzverzális, ekvatoriális), ha a képfelület tengelye az egyenlítő síkjában fekszik és átmegy az alapfelület középpontján, vagy lehet ferdetengelyű (horizontális), amikor a tengely helyzete a két előbbi esettől eltérően tetszőleges.  A sík tengelyén a vetületi kezdőpontban a síkra emelt merőleges egyenest (normális) értjük.

e) A vetületeket megkülönböztethetjük aszerint is, hogy a képfelület érinti, vagy metszi az alapfelületet, vagy esetleg az alapfelülettel nem is érintkezik, hanem azon kívül helyezkedik el.
A metsző vetületekkel kapcsolatban meg kell jegyeznünk azt, hogy az alap- és képfelületek közös vonala (a metszési vonal) a síkba fejthető felület kiterítése után csak a perspektív vetületeknél marad a helyén, a nem perpektív vetületeken eredeti helyzetéhez viszonyítva önmagával párhuzamosan eltolódik. A metsző vetület elnevezést ennek értelmében csak perspektív vetületekkel kapcsolatban használhatnánk, a szakirodalomban viszont a nem perspektív vetületek süllyesztett változatát is metszőként említik. Megkölönböztetés végett az ilyen változatot szerencsésebb redukált (süllyesztett) vetületnek nevezni.

f) A síkvetületek lehetnek ún. valódi (valós), és lehetnek ún. képzetes (módosított, ál) vetületek. A valódi síkvetülteket az jellemzi, hogy  normális elhelyezésben a meridiánok (más elhelyezésben a segédmeridiánok) képei egyenesek, és ezek egy pontban futnak össze (ez a pont a végtelenben is lehet), a paralelkörök (segédparalelkörök) képei pedig olyan koncentrikus körök vagy körívek, melyeknek középpontja az a pont, amelyben a meridiánok képei találkoznak. Ha ez a pont a végtelenben van, akkor a paralelkörképek mint végtelen sugarú koncentrikus körök, párhuzamos egyenesekké válnak. Minden olyan síkvetület, amelyen a  fokhálózat (segédfokhálózat) képe másképp alakul, a képzetes vetületek csoportjába tartozik. Ezek lehetnek képzetes kúp-, képzetes hengervetületek, vagy pedig ezekbe az osztályokba nem sorolható egyéb képzetes vetületek.

g) Továbbá megkülünböztethetjük a vetületeket a fokhálózati vonalak (meridiánok és paralelkörök) képeinek metszési szöge szerint is. Így lehetnek olyan vetületek, amelyeken ez a hálózat derékszögű, másokon ferdeszögű rendszert képez. Szögtartó vetület csak  a derékszögű változat esetében létezik.

h) Végül - megismételve egy korábban említett csoportosítást, vannak általános torzulású, szögtartó (konform) és területtartó (ekvivalens) vetületek. Geodéziai célokra kizárólag szögtartó vetületeket alkalmaznak.


Kettős vetítés

Magyarországon a kataszteri célokra alkalmazott vetítéseknél mindig kettős vetítéssel tértek át az ellipszoidról síkra vagy síkba fejthető felületre. A vetítés első lépésében az ellipszoidról a Gauss-féle minimális hossztorzulású szögtartó gömbi vetülettel (Gauss-féle gömbi vetület) tértek át az ellipszoid simulógömbjére (Gauss-gömb, közepes-sugarú gömb), majd a második lépésben a gömb valamelyik szögtartó síkvetületével a síkra (3. ábra).
 
 

3. ábra. A kettős vetítés alap- és képfelületei

A simulógömb az ellipszoidi normálparalelkör és a középmeridián metszéspontjában simul másodfokúan az ellipszoidhoz. A normálparalakört és a kezdőmeridiánt is az ábrázolandó terület közepén átmenően veszik fel. A hazai kettős vetítéseknél mindig a gellérthegyi meridián volt a kezdőmeridián, igaz más-más ellipszoidokon.
 

Vetületnélküli rendszerek

A másodiknak nevezett (1807-től 1869-ig tartó) katonai felmérés volt az első olyan országos felmérés a Habsburg Birodalomban, amely többé-kevésbé egységes háromszögelési hálózaton alapult. A hálózat alapfelületéül választott "keverék ellipszoid" fél nagytengelye az Oriáni által 1807-ben publikált ellipszoidé:

a  = 3 362 035 öl,

lapultsága pedig Zach 1809. évi ellipszoidjáé:

l = 1/310.

A hálózat csillagászati kezdőpontja a bécsi Szent István székesegyház (Stephansdom) tornya volt. Az ellipszoidon levőnek elképzelt, összefüggő háromszögelési hálózat oldalainak hosszát síkhossznak tekintették, a síkháromszögek szögeit pedig az ellipszoidi szögekből az ún. húrredukcióval számították.A síkháromszögek szögzáróhibáját egyenletesen osztották szét a háromszögek belső szögei között. A kiegyenlítést kísérletező módszerrel (empirikusan) végezték.

A szakirodalom szerint a síkra Cassini-féle vetülettel tértek át, bár a vetítésnek az itt alkalmazott módja nem tekinthető vetületnek a Cassini féle elv következetlen alkalmazása miatt. Cassini vetülete ugyanis az ellipszoidnak olyan érintő elhelyezésű egyenlítői (transzverzális) hengervetülete, amely általános torzulású, de a kezdőpont meridiánján és az arra merőleges geodéziai vonalakon hossztartó.

Ezen a vetületen a hossztorzulások és ennek következtében a területtorzulások így kisebbek mint az ellipszoid egyenlítői elhelyezésű szögtartó hengervetületén a Gauss-Krüger-vetületen. Területtorzulása fele a Gauss- Krüger-vetületének.

Ezzel szemben a háromszögelési pontok síkkoordinátáit úgy számították, hogy a pontokat a kezdőpontból kiinduló sokszögvonalakba foglalták, azután a síkhosszakból és az azimutokból számították az oldalak meridián irányú és arra merőleges összetevőinek hosszát. Ezeknek az összegzésével nyerték az egyes pontok M-mel (Meridiane) és P-vel (Perpendickel) jelölt síkkoordinátáit.

Mivel a hosszakat minden irányban redukció nélkül vitték át a síkra az ábrázolásnak ez a módja nem tekinthető Cassini-féle vetületnek és nem is egyértelmű, mert a különböző útvonalakon számított koordináták között igen jelentős ellentmondások adódtak. Egy 600 km hosszú geodéziai vonal bizonytalansága kereken 1 km volt.

Az ábrázolásnál fellépő eltérések miatt kénytelenek voltak a Birodalom területén több koordináta-rendszert bevezetni. Területének nagyságától függetlenül mindegyik ország (tartomány) egy-egy koordináta-rendszert kapott.

A bevezetett tíz (ún. vetületnélküli) rendszer közül a Magyar Királyság területére három esett (4 .ábra):
 

4. ábra. Magyarországi vetületnélküli rendszerek


                    1. Budai rendszer. Kezdőpontja a volt Gellért-hegyi csillagda keleti pillére, amelynek a alapfelületi koordinátáit a bécsi Szent István székesegyház tornyából vezették le.

                   2. Nagyszebeni rendszer. Kezdőpontja a Vízakna (Vízaknai-hegy) nevű háromszögelési pont, amelynek alapfelületi koordinátáit a budai rendszer kezdőpontjából vezették le:

                    3. Ivanic-i (továbbiakban: ivanicsi) rendszer. Kezdőpontja az Ivanics zárdatorony háromszögelési pont, melynek alapfelületi koordinátáit csillagászatilag határozták meg.

A Budai rendszert a szorosan vett Magyarország területén, a Nagyszebeni rendszert Erdélyben, az Ivanicsi rendszert pedig Horvátország és a Szerémség területén alkalmazták. A Nagyszebeni rendszerben kataszteri felmérést nem végeztek, kimondottan erdőmérési célokra vezették be.

A síkkoordináták számítása az egyes vetületnélküli rendszerekben az előzőkben ismertetett elvek szerint történt. Természetesen igen nagy ellentmondások jelentkeztek az országok (tartományok) határa közelében levő azonos pontok földrajzi koordinátáiban, amikor a két szomszédos rendszerben ismert síkkoordinátákból számították ki azokat. Ebből is következik, hogy a sík-és a földrajzi koordináták közötti átszámítások a gyakorlati követelményeket kielégítő pontossággal nem végezhetők el.

A síkkoordináta-rendszerek mindhárom vetületnélküli rendszerben délnyugati tájékozásúak. A kezdőpontban egyenesként ábrázolt meridián déli ága a +x tengely, az y tengely pozitív ága nyugat felé mutat. Ezekben a rendszerekben 1884-ig folytak a felmérések 1:2880, részletdúsabb helyeken 1:1440 ill. 1:720 méretarányban.

A harmadik katonai felmérés (1872-1887) háromszögelési alapja lényegében azonos a második katonai felméréshez készült háromszögelési hálózattal, de a pontok koordinátáit a régi mérési adatokból összeállított láncolatok segítségével újra számították. Szabatos módszerrel azonban ezt sem egyenlítették ki. Ekkor készültek azok az 1:75 000 és 1:200 000 méretarányú topográfiai térképek, amelyek - általában helyszínelt - lapjait az 1950-es évekig - a Gauss- Krüger vetületű topográfiai térképek megjelenéséig használták.
 

Sztereografikus vetületi rendszerek

Magyarország területére 1860-ban kezdték el egy új egységes háromszögelési főhálózat számítását kiegyenlítéssel. Ehhez egyes láncolatokat és alapvonalakat újra mértek. Az így létrehozott új láncolatrendszert két csoportban egyenlítették ki. A hálózat egyik része “szorosan vett magyarországi főhálózat” néven vált ismertté. Ennek kezdőpontja a gellérthegyi csillagda keleti tornyának pillére volt.

A Gellért-hegy kezdőpont ellipszoidi koordinátáit a bécsi csillagda földrajzi koordinátáiból a Walbeck-féle ellipszoidon vezették le. Az így kapott koordinátákat Bessel-ellipszoidiaknak fogadták el.

A Bessel-ellipszoidról a Gauss-féle gömbi vetülettel vetítettek a régi Gauss-gömbre, onnan pedig két ferdetengelyű sztereografikus vetülettel a síkra. Sztereografikus vetületen a kezdőponttal (K) átellenes gömbfelületi pontból (Q) egyenesekkel (perspektív módon) vetítjük a gömbfelületi pontokat a kezdőpontban érintő vetületi síkra (5. ábra).
 

5. ábra. Sztereografikus vetítés

A magyarországi sztereografikus vetületi rendszerek a következők:

1. Budapesti rendszer. Kezdőpontja a Gellért-hegy nevű háromszögelési pont Gauss-gömbi megfelelője.

2. Marosvásárhelyi rendszer. Kezdőpontja Kesztej-hegy nevű háromszögelési pont Gauss-gömbi megfelelője.

A sztereografikus rendszerek bevezetésekor a Budapesti rendszer kezdőpontjaként elfogadták a Budai vetületnélküli rendszer kezdőpontját, Erdélyben viszont a Vízaknai-hegy helyett központibb fekvésű pontot (Kesztej-hegy) jelöltek ki új kezdőpontnak. A Budapesti rendszert a szorosan vett Magyarország területén a Marosvásárhelyi rendszert a Király-hágón túli területeken alkalmazták (6. ábra).

6. ábra. Sztereografikus vetületi rendszerek

Mindkét rendszerben a kezdőpont meridiánjának egyenesként ábrázolt képe a síkkoordináta-rendszer x tengelye, a kezdőpontban a meridiánra merőleges gömbi főkör (ortodroma) szintén egyenes képe pedig az y tengely. Az x tengelyek pozitív ága délre, az y tengelyeké nyugatra mutat (DNy-i tájékozású koordináta-rendszerek).

Az Állami Földmérés és 1935-ig a katonai topográfia is az előbbi koordináta-rendszerekben értelmezett yST  és xST  koordinátákat alkalmazta. 1935-től a negatív előjelű koordináták kiküszöbölése céljából a topográfiában az yST , xST  vetületi koordinátákat egy C állandóból kivonva nyerték az yKST , xKST katonai sztereografikus koordinátákat:

yKST = C - yST ,

xKST = C - xST .

Ilyen módon a katonai rendszerekben a koordináta-rendszer tájékozása is korszerűbbé, ÉK-ivé vált.

A C állandó értékei az egyes rendszerekben:

A Budapesti katonai sztereografikus rendszerben:

C = 500 000 m.

A Marosvásárhelyi katonai sztereografikus rendszerben:

C = 600 000 m.

Az Ivanicsi katonai rendszerben:

C = 400 000 m.

Itt az ivanicsi vetületnélküli koordinátákat vonták ki C-ből. Mivel a katonai koordinátákat az ivanicsi rendszerben hasonlóképpen számították mint a sztereografikus rendszerekben, azért terjedhetett el a szakirodalomban is az a nézet, hogy az ivanicsi rendszer is sztereografikus volt.

Az irányszög- és távolságszámításon kívül mindenféle vetületi számítás csak az eltolás nélküli koordinátákkal végezhető, ezért ilyen számítások előtt vissza kell térni a vetületi koordinátákra:

yST = C - yKST ,

xST = C - xKST .

 Az 1930-as években Budapest városmérése céljára új, korszerű háromszögelési hálózatot fejlesztettek ki. Az önálló hálózat több pontja része az országos háromszögelési hálózatnak is. A régi Gauss-gömbön kifejlesztett városi háromszögelési hálózatot sztereografikus vetítéssel vitték át a síkra. Ezt nevezik  Budapesti Önálló Városi Rendszernek (BOV).

Az alapfelületet, a vetületi kezdőpontot és a koordináta-tengelyek tájékozását tekintve a BOV megegyezik a Budapesti sztereografikus (országos) vetületi rendszerrel. Az egyes rendszerekben a síkkoordináták a háromszögelési hálózatok különbözősége miatt mégis kis mértékben eltérnek egymástól, ezért közöttük az átszámítás csak mindkét rendszerben ismert koordinátájú pontok (azonos pontok) felhasználásával - nem szabatos módon - végezhető.

Mivel a magyarországi háromszögelési hálózatot több részletben egyenlítették ki, a két országos sztereografikus rendszer között sem lehetett koordináta-módszerrel átszámítani. Ez utóbbi átszámításokra gyakorlati célokból napjainkban már nem lehet szükség.

A Budapesti sztereografikus, a Budai vetületnélküli és a Budapesti Önálló Városi Rendszer kezdőpontjai és a koordináta-tengelyek tájékozása is megegyeznek, ezért a három rendszerben a koordináták csak néhány dm-rel vagy m-rel különböznek egymástól az alapfelületek, a háromszögelési hálózatok és a vetületi (vetület nélküli) rendszerek különbözősége miatt. Az eltérések a vetületi kezdőponttól (Gellért-hegy) távolodva nőnek. Ezért, ha sztereografikus koordinátákat rakunk fel egy sztereografikusnak vélt régi térképre, és ott az előbbi ellentmondások jelentkeznek, akkor a térkép nagy valószínűséggel vetületnélküli rendszerben készült. Ez a tévedés Budapest területén nem fordul elő, mert ott nem találkozunk vetületnélküli vagy országos rendszerű sztereografikus koordinátákkal, a használatban levő térképek pedig BOV -ban  vagy EOV-ben készültek.
 

Ferdetengelyű érintő szögtartó hengervetületi rendszerek

Az érintő hengervetületek bevezetésekor (1908) Fasching Antal a Gellért-hegy nevű háromszögelési pont gömbi és azokból ellipszoidi koordinátáit is újból levezette, és a háromszögelési hálózatot is újból tájékozta úgy, hogy a Gellért-hegy pont gömbi megfelelőjéből kiinduló háromszögoldalak azimuját 6,44"-cel csökkentette. Ennek eredményeként a hálózat pontjainak gömbi és ellipszoidi koordinátái is kis mértékben megváltoztak. A hengervetületi rendszerekre az így elfordított hálózatot vetítették, de a pontok sztereografikus koordinátáit változatlanul hagyták.

Ezek után, ha egy pont budapesti sztereografikus és hengervetületi koordinátáiból kiszámítjuk a gömbi földrajzi koordinátákat, egymástól eltérő eredményeket kapunk. Ez természetesen az ellipszoidi koordinátákra is vonatkozik. A sztereografikus és a hengervetületi koordinátákból számítható azimutok különbsége csak egy a Gellért-hegy ponton átmenő görbe vonalon 6,44", máshol ezzel közel egyenlő, pontonként minden irányban állandó érték.

Az Állami Földmérés az új elhelyezésnek és tájékozásnak megfelelő, a topográfiai felméréseket végző katonai térképészet az új elhelyezés szerinti alapfelületi koordinátákat fogadta el (újbóli tájékozás nélkül). Tehát valamely pontnak az alapfelületi (ellipszoidi, gömbi) koordinátái különbözők a korábbi és az új elhelyezés szerinti topográfiai térképeken.

A felsorolt ellentmondások az Állami Földmérésben nem okoztak nehézséget, mert a kataszteri térképeken a fokhálózati vonalakat sohasem tüntették fel, a sztereografikus és hengervetületek közötti átszámításoknál pedig az új elhelyezést és tájékozást egyszerűen figyelembe lehet venni.

Magyarországot három ferdetengelyű érintő hengervetület fedi. A hengervetületi északi rendszer (HÉR) a  47° 55´ földrajzi szélességtől északra fekvő területekhez, a hengervetületi középső rendszer (HKR) a 46° 22´ és a 47° 55´ földrajzi szélességekkel határolt sávhoz, a hengervetületi déli rendszer (HDR) pedig a 46° 22´ földrajzi szélességtől délre levő területekhez tartozik (7. ábra).
 

7. ábra. Ferdetengelyű érintő hengervetületi rendszerek


Mindhárom képfelületi henger a kezdőpontban a gellérthegyi meridiánra merőleges gömbi főkör (segédegyenlítő) mentén érinti a régi Gauss-gömböt (8. ábra). A síkbafejtett hengerpaláston az előbbi meridián képe adja a hengervetületi rendszerek x tengelyét, a segédegyenlítők képei pedig az y tengelyeket. A koordináta-rendszerek tájékozása a sztereografikus vetületekéhez hasonlóan DNy-i (7. ábra).
 

8. ábra. Ferdetengelyű hengervetületek

Gauss-Krüger-vetület

A Gauss- Krüger vetület a forgási ellipszoid egyenlítői elhelyezésű (transzverzális), érintő szögtartó hengervetülete. A képfelületi henger tengelye az egyenlítő síkjában fekszik, és átmegy az ellipszoid középpontján. Az ellipszis keresztmetszetű henger mindig egy-egy ábrázolandó ellipszoidi kétszög (sáv) középmeridiánja mentén érinti az alapfelületet (9. ábra).
 

9. ábra. Gauss-Krüger vetületi sáv és képe

Topográfiai térképezéshez 6° -os, nagyméretarányúhoz 3° -os, esetleg 2° -os sávszélességet alkalmaznak. A nemzetközi sávbeosztásnak megfelelően Magyarország területe két darab ilyen 6° -os sávra esik, a 33. sorszámúra 15° -os és a 34.-re 21° -os földrajzi hosszúságú (greenwichi) középmeridiánokkal.

Mindegyik sávnak külön síkkoordináta-rendszere van, melyeket az kapcsolja egybe, hogy y tengelyük közös: az egyenlítő egyenesként jelentkező képe. Valamennyi sávnak azonban másik x tengelye van, mégpedig a sáv középmeridiánjának ugyancsak egyenesként, és az egyenlítő képére merőlegesen jelentkező valódi képe (10. ábra).
 

10. ábra. Gauss-Krüger vetületi sávok

A vetület szögtartó, matematikai összefüggései a szögtartóság alapegyenletéből vezethetők le. A szakirodalomban általában azok a sorok találhatók, amelyek a logaritmikus számításoknál és táblázatok használatánál voltak alkalmasak. A vetületi egyenletekből kapott x koordináta megegyezik a Gauss- Krüger X-szel, az y -hoz viszont a negatív előjelű Y koordináták elkerülése céljából Yo = 500 000 m-t kell hozzáadni (11. ábra):

11. ábra. Koordináta-rendszerek a Gauss-Krüger vetületen
 

Y = y + Yo .        (1)

Ilyen abszolút értékű koordináták bármelyik sávban lehetnének, ezért a 33. sávban 3-as, a 34. sávban pedig 4-es vezérszámot írunk az Y koordináta elé.
Új háromszögelési hálózatunk kialakítása 1948-ban kezdődött meg. A kiegyenlítési munka egyszerűsítésének kedvéért az országhatárok mentén körbefutó egy-, ill. kétsoros koszorúhálózatot fejlesztettek ki, melyet a Duna-Tisza közén egy észak-dél irányú egysoros láncolattal merevítettek ki. A koszorúrendszer a klasszikus eljárás elvei szerint készült.

A koszorúhálózat két nagy területet zárt közre, egyiket a Dunántúlon, másikat a Duna-Tisza-közén és a Tiszántúlon. Ezeken a területeken a kitöltő hálózatokat az ún. domináns pontok módszerével fejlesztették ki.

A Varsói Szerződés vetületi rendszereként a Gauss-Krüger vetületet fogadták el Kraszovszkij-ellipszoid alapfelülettel. Az ezen elhelyezett Egységes Asztrogeodéziai Hálózat (EAGH) a kelet-európai országok és a Szovjetunió európai részének csatlakoztatott és közösen kiegyenlített elsőrendű hálózatát foglalja magában. Elnevezése: S-42 rendszer (System 1942.).  Az EAGH közös kiegyenlítésére két alkalommal került sor, 1958-ban és 1983-ban (jelzésük: EAGH-58 és EAGH-83).

Az országos háromszögelési hálózat (I. - IV. rendű) pontjainak  koordinátáit a nagyméretarányú felmérések céljára is alkalmas 4 db. 3° -os sávon számították 15°, 18°, 21° és 24° -os középmeridiánokkal. Később úgy döntöttek, hogy a Gauss-Krüger vetület csak katonai célokat fog szolgálni, ezért a 2 db. 6° -os sávra számították át a koordinátákat. A nemzetközi sávbeosztásnak és számozásnak megfelelően ezek közül egyik a 33. sáv 15°-os, a másik a 34. sáv 21°-os középmeridiánnal.

Mivel a Gauss-Krüger koordinátákhoz a polgári szervek  titokvédelmi okokból nehezen fértek hozzá, az ÁFTH (Állami Földmérési és Térképészeti Hivatal) úgy döntött, hogy az új háromszögelési hálózat pontjait transzformációs eljárással a korábbi vetületi rendszerekbe kell átszámítani. Ehhez az azonos pontok két rendszerbeli koordinátáiból az ország egész területére egyetlen transzformációs polinompárt vezettek le.

A transzformált és az eredeti sztereografikus koordináták különbségéből nomogramot szerkesztettek. A nomogramból kiolvasotty, ill.  x értékekkel megjavítva a polinomból kapott értékeket kapták az ún. " transzformált sztereografikus koordinátákat " , amelyeket az adott területnek megfelelő ferdetengelyű érintő hengervetületi rendszerekbe (HÉR, HKR, HDR) is átszámítottak. Az így számított koordinátákat, - amelyek az azonos pontoknál a háromszögelési hálózatok különbözősége miatt esetenként több dm-rel is eltérnek az eredeti koordinátáktól - a háromszögelési pontok pontleírásain "Tr " -rel jelölik.
 

Egységes Országos Vetület (EOV)

Korábbi vetületi rendszereink a megnövekedett igényeket nem tudták kielégíteni. Mint a Gauss-Krüger vetületnél is láttuk az 1948-tól kezdődően kifejlesztett új, korszerűbb háromszögelési hálózatunk pontjait csak a minőség lerontásával lehetett a régi hálózatba transzformálás után a korábbi vetületi rendszerekben felhasználni. Ezért célszerűnek látszott egy új, korszerű alapokon nyugvó vetületi rendszer bevezetése.

A felsőrendű háromszögelési hálózat korszerűsítése során - a javító célzatú méréseken túlmenően - nagy számú háromszögoldal hosszát mérték meg elektrooptikai távmérővel, a Laplace-pontok számát pedig több mint kétszeresére (40 db.) növelték.

A hálózatot 1971-73 között homogén hálózatként egyenlítették ki a Kraszovszkij-ellipszoidon. Ehhez változatlanul elfogadták a Szőlő-hegy nevű pont EAGH-beli koordinátáit és kezdő azimutként a Szőlő-hegy - Erdő-hegy azimutot. Ezt a hálózatot a szakirodalom a FAGH (Felületi Asztrogeodéziai Hálózat) névvel jelöli. A pontok koordinátáit Gauss-Krüger vetületen számították.

1969 -1975 között új geodéziai vonatkozási rendszer került bevezetésre. Az új alaphálózat mérési anyaga lényegében azonos a FAGH mérési anyagával, alapfelületül azonban az IUGG1967 ellipszoidot választották. Az IUGG1967 ellipszoid a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 1967-ben elfogadott alapfelület, amelynek jelölésére használatos a GRS67 (Geodetic Reference System) jelölés is. A hálózatot önálló relatív tájékozással helyezték el az ellipszoidon. Az ellipszoid jól simul a geoid magyarországi részéhez, de a tájékozás relatív volta miatt az ellipszoid térbeli elhelyezése nem geocentrikus (földközéppontú). Ez a vonatkozási rendszer később a HD-72 (Hungarian Datum 1972.) elnevezést kapta.

Az ellipszoidról a síkra a hagyományoknak megfelelően akkor is kettős vetítéssel tértek át. Első lépésben az IUGG1967 ellipszoidról az ellipszoid gömbi vetületével az új Gauss-gömbre, onnan pedig egyetlen ferdetengelyű, két hossztartó segédparalelkörű, (redukált) szögtartó hengervetülettel a síkra (3. ábra). Ez utóbbit nevezzük Egységes Országos Vetületnek (EOV).

A szakirodalomban az ilyen vetületeket szokásos süllyesztett vagy metsző hengervetületnek is nevezni, azonban ezek az elnevezések nem fedik a vetület lényegét. Süllyesztett vagy metsző hengerről csak perspektív vetítés esetén beszélhetünk; az ilyen vetületek azonban általános torzulásúak, és ezért geodéziai célokra nem alkalmasak. Ezért helyesebb a redukált hengervetület elnevezés.

Az EOV vetületi kezdőpontja az új Gauss-gömb gellérthegyi meridiánjának (kezdőmeridián)

o = 47° 06´ 0,0000"

földrajzi szélességű pontja. A földrajzi hosszúságokat itt is a gellérthegyi meridiántól mérjük (előjelük is keletre pozitív). A kezdőmeridián képe adja az x tengelyt, a kezdőpontban a kezdőmeridiánra merőleges gömbi főkör (segédegyenlítő) képe az y tengely. Az x tengely pozitív ága északra, az y tengelyé keletre mutat (ÉK-i tájékozású rendszer).
 
 

12. ábra. Ferdetengelyű redukált hengervetület


A redukálás miatt a segédegyenlítőre szimmetrikusan elhelyezkedő két segédparalelkör torzulásmentes (12. ábra). Ezek között a hosszak és a területek csökkennek, rajtuk kívül pedig nőnek. A hosszak rövidülése a segédegyenlítőn éri el maximális értékét.
 
 

13. ábra. Koordináta-rendszerek az EOV-n


Gyakorlati okokból a síkkoordináta-rendszer kezdőpontját az ország területén kívül eső, alkalmasan kiválasztott pontba helyezték át (13. ábra). Az eredeti (y, x) vetületi koordináták és a kezdőpont áthelyezése eredményeként nyert (Y, X) síkkoordináták közötti összefüggés:

X = x + Xo,

Y = y + Yo,

ahol

Xo = 200 000 m,

Yo = 650 000 m.

Így az X és Y koordináták mindig pozitív előjelűek, és teljesül az

X < 400 000 m < Y

feltétel. Tehát az eltolt koordináták abszolút értékéből egyértelműen megállapítható, hogy X vagy Y koordinátáról van-e szó. A távolság- és irányszög számításon kívül természetesen minden vetületi számítás csak az x, y koordinátapárral végezhető.
 

Universal Transverse Mercator (UTM) vetület

Az UTM vetület az ellipszoid egyenlítői elhelyezésű (transzverzális) redukált, szögtartó hengervetülete. A meridián-ellipszisnél kisebb keresztmetszetű egyenes henger a vetületi sáv középmeridiánjára szimmetrikusan elhelyezkedő két torzulásmentes vonalon (normálellipszisen) metszi az ellipszoidot (14. ábra).
 

14. ábra. Az ellipszoid egyenlítői elhelyezésű redukált hengervetülete


A torzulásmentes vonalak között a hosszak és a területek csökkennek, rajtuk kívül pedig nőnek. A torzulásmentes vonalak a sáv középmeridiánjátólo = 1° 37´ 15" -re levő pontokban metszik az egyenlítőt. A síkkoordináta-rendszerek hasonlóképpen alakulnak, mint a Gauss-Krüger vetületnél. Az érintő elhelyezéshez tartozó síkkoordinátákat az

mo = cos o = 0,9996

vetületi méretarány-tényezővel szorozva kapjuk az UTM koordinátákat.

Az Európához és a NATO-hoz való csatlakozás, valamint a GPS technika alkalmazása új egységes koordináta-rendszert kíván meg, amit Magyarországon a katonai topográfiában a WGS84 ellipszoidhoz mint alapfelülethez tartozó UTM vetület biztosít. A  nyugat-európai országokban általában a Hayford-féle ellipszoidot alkalmazzák alapfelületként. A sávszélesség 6° -os és a középmeridiánok ugyanazok mint a Gauss-Krüger vetületnél.

Az UTM vetületi számításoknál a Gauss-Krüger vetület összefüggéseit használhatjuk, néhány jelölésbeli különbséggel (2. táblázat):
 

Gauss- Krüger vetület
UTM vetület
mo = 1
mo = 0,9996
x
N
y
E
X
N
Y
E
Xo
FN (False Northing)
Yo
FE (False Easting)

2. táblázat. Jelölésbeli különbségek a Gauss-Krüger és az UTM
vetület között
 

15. ábra. Koordináta-rendszerek az UTM vetületen

A Gauss-Krüger vetületnél az Xo = 0, az UTM FN eltolás értéke csak az egyenlítőtől északra 0 (így Magyarországon is), délre pedig 10 000 000 m.  Az UTM FE eltolás mindegyik sávban 500 000 m (15. ábra), így a sáv meghatározásához még szükségünk van egy adatra, nevezetesen annak a 6° x 8° -os ellipszoidi trapéznak a jelzésére, amelyikben a pontunk elhelyezkedik. Magyarország területén a 33 T, 33 U, 34 T vagy 34 U jelzéseket írjuk a pont helyzetétől függően az E koordináta elé vagy mögé  (16.ábra). A Gauss-Krüger szelvényezésnél 6° x 4° -os ellipszoidi trapézok a felosztás alapjai, de Magyarország területén ezek határvonalai is a 48° földrajzi szélességű paralelkör és a 18° hosszúságú meridián.
 

16. ábra. A 6° x 8° -os ellipszodi trapézok jelzései. Felül a Gauss-Krüger, alul az UTM jelölések

Vetületi átszámítások

Magyarországon a geodéziai alapok többszöri (általában indokolt) megváltoztatása az alkalmazott vetületi rendszerek sokféleségét eredményezte. Geodéziai célokra két sztereografikus vetületi rendszert alkalmaztak (Budapesti és marosvásárhelyi) a ferdetengelyű érintő hengervetületi rendszerekből is három rendszerre volt szükség (HÉR, HKR, HDR). A nemzetközi sávbeosztásnak megfelelően a Gauss-Krüger és az UTM-vetület 6°-os sávjából is kettő fedi le az ország területét, tehát egyfajta vetületnek is több rendszere van.

Ezeken kívül a terület egészén az Egységes Országos Vetület  (EOV) is bevezetésre került. A magyarországi sztereografikus és a ferdetengelyű érintő hengervetületi rendszerek közös alapfelülete a Bessel-ellipszoidhoz simuló régi Gauss-gömb, az EOV alapfelülete az IUGG67 ellipszoidhoz simuló új Gauss-gömb, a Gauss-Krüger-vetület alapfelülete nálunk a Kraszovszkij-féle ellipszoid. A GPS-technika elterjedésével az utóbbi időkben WGS84 ellipszoidi vagy a térbeli geocentrikus koordinátákat is kapunk eredményül. A nemzetközi kapcsolatokban egyre gyakrabban UTM-vetületet kell használnunk.

A képet tovább árnyalja, hogy a fenti rendszereken kívül előfordulnak még katonai sztereografikus koordináták, Budapest területén városi sztereografikus koordináták (BOV), sőt néhány községben vetület nélküli koordináták is.

Amikor egy bizonyos területen egyidejűleg többfajta vetületi rendszert alkalmazunk, az egyes rendszerek átfedési területein gyakran felmerül az átszámítás szükségessége. Hasonló a helyzet, amikor valamelyik vetületi rendszernek több sávja van (Pl. a Gauss-Krüger vagy az UTM-vetületnek), mert ilyenkor a sávok csatlakozása környékén kell gyakran koordinátákat átszámítani.

Általánosságban; amikor térképünk vetületi rendszere más, mint a rendelkezésre álló alappontoké, akkor méréseink eredményét át kell transzformálnunk a térkép vetületi rendszerébe, hogy azon ábrázolni tudjuk.

Zárt matematikai összefüggésekkel történő szabatos átszámításra (koordináta-módszer) csak az azonos alapfelületekhez tartozó vetületi rendszerek esetében van lehetőség, de csak akkor, ha a két vetületi rendszerben ugyanazon háromszögelési hálózatnak, ugyanabból a kiegyenlítésből származó pontjait ábrázoljuk. Ha ugyanis az egyik vetületről olyan pont koordinátáit számítunk át a másikra, amely más háromszögelési hálózathoz tartozik, akkor az átszámított koordináták nem illeszkednek megfelelően a kérdéses vetületi síkon ábrázolt háromszögelési hálózat pontjai közé, tekintetbe véve a két hálózat különböző elhelyezéséből, tájékozásából, külön alapvonal-rendszeréből és egymástól teljesen független szögméréseiből adódó különbségeket. A háromszögelési hálózatnak újabb mérésekkel történő finomítása vagy új kiegyenlítése következtében ugyanis megváltoznak az alappontok alapfelületi és így vetületi síkkoordinátái is. Hasonló következményekkel jár az alapfelület állandóinak megváltoztatása, még akkor is, ha a háromszögelési hálózatot egyébként nem változtatjuk meg. A hálózat tájékozásának megváltoztatása nem akadálya a szabatos átszámításnak.

Minden olyan esetben, amikor az előbbi feltételek közül bármelyik is nem teljesül, az átszámítás csak korlátozott pontossággal, a mindkét rendszerben ismert koordinátájú ún. azonos pontok felhasználásával végezhető. A kiválasztott azonos pontoktól függően kis mértékben más és más koordinátákat kapunk.
 

Átszámítás koordináta-módszerrel

A koordináta-módszer lényege, hogy az egyik vetületen adott síkkoordinátákból a megfelelő vetületi egyenletek segítségével kiszámítjuk a két vetületi rendszer közös alapfelületére vonatkozó földrajzi koordinátákat, majd ezekből a másik vetületi rendszer összefüggéseivel számítjuk a másik vetületen a síkkoordinátákat. Ezt a módszert korábban - nagy számítási munkaszükséglete miatt  - csak az elsőrendű háromszögelési pontok koordinátáinak átszámítására használták. Ma annak sincs akadálya, hogy a részletpontok koordinátáit is koordináta-módszerrel számítsuk át.
A földrajzi koordináták közbejöttével egyes esetekben átszámító egyenletek is felállíthatók.
Koordináta-módszerrel végezhetjük az átszámítást pl. a polgári célokra alkalmazott vetületi rendszereink és azok alapfelületei között (Bessel-ellipszoid, Budapest sztereografikus vetületi rendszer, HÉR, HKR, HDR).
 

Átszámítás azonos pontok alapján

Ha a két vetületi rendszer alapfelülete és az ábrázolt háromszögelés hálózata (esetleg mindkettő) különböző, az átszámítás csak azonos pontok alapján végezhető. Az egymástól 7-10 km távolságra levő azonos pontok közül legalább háromnak közre kell fognia azt a területet, amelyen az átszámítást akarunk végezni.
Ilyen esetekben a Vetületi szabályzat az alábbi módszereket engedi meg:

1. Lineáris transzformálás "a-b" módszerrel (Papp-féle módszer)
2. Lineáris affin transzformáció
3. Transzformálás általános hatványsorokkal
Ezekkel a módszerekkel olyankor is el lehet végezni az átszámítást, amikor az alapfelületek és a háromszögelési hálózatok azonosak, de pontatlanabb eredményt adnak, mint a koordináta-módszer.
 

Átszámítás általános hatványsorokkal

Hatványsorokkal végezhetjük az átszámítást, amikor nagyobb munkaterületen (több száz km2-en) csak azonos pontok állnak rendelkezésre, mert a két vetületi rendszer alapfelülete vagy háromszögelési hálózata különböző.  Hatványsorokat alkalmaznak pl. az EOV és a korábbi vetületi rendszerink közötti átszámításnál. Ehhez számítási (transzformálási) egységeket alakítunk ki, és azokon belül azonos pontokat választunk ki. A szükséges azonos pontok száma (p) attól függ, hogy

A feladat egyértelmű (kiegyenlítés nélküli) megoldásához a szükséges azonos pontok száma:

,

ahol n = fokszám.

n
p
2
6
3
10
4
15
5
21

Az azonos pontok mindkét rendszerbeli koordinátáiból súlyponti koordinátákat számítunk, hogy kisebb abszolút értékű adatokkal számolva pontosabb eredményt kapjunk. Az I. rendszer xI , yI koordinátái és a II. rendszer xII, yII koordinátái közötti kapcsolat ötödfokú polinommal a következőképpen írható fel:


 


Az A0 - A20 és B0 - B20 (összesen 42 együttható) az azonos pontok alapján kiegyenlítéssel határozható meg. Ötöd fokú polinom együtthatóinak meghatározásához 21 azonos pont szükséges. Mivel az x és az y egyenletében egyaránt 21 ismeretlen van, azok egyértelműen meghatározhatók. Ilyenkor, ha ellenőrzésképpen olyan azonos pont koordinátáit számítjuk át, amelyet bevontunk az együtthatók meghatározásába, a pont II. rendszerbeli adott koordinátáit kell kapni.

Amikor a szükségesnél több azonos pontot vonunk be az együtthatók meghatározásába, akkor kiegyenlítésre nyílik lehetőség. Ilyenkor a felhasznált azonos pontok koordinátáinak átszámítása alkalmával nem kapjuk pontosan a II. rendszerbeli adott koordinátákat, hanem ún. maradék ellentmondások jelentkeznek. Amennyiben ezek az érvényes utasításban előírt mértéket túllépik, a transzformálási egység területét vagy a polinom fokszámát meg kell változtatni.

A transzformáláshoz az utasítások általában nem engedélyezik ötöd fokúnál magasabb fokú sorok alkalmazását. A magas fokszámú függvények ugyanis - főként extrapoláció esetén - az eredményt meghamisíthatják.

Legyen feladatunk 30 azonos pontból kiegyenlítéssel meghatározni az ötödfokú polinom x és y egyenletének 21 x 2 = 42 db együtthatóját. Az azonos pontok súlyponti koordinátáit az egyenletekbe behelyettesítve x-re és y-ra is 30 db egyenletet írhatunk fel:
 

a1,0 A0 +a1,1A1 + ... + a1,20 A20 = b1,

a2,0 A0 +a2,1A1 + ... + a2,20 A20 = b2,

...

a30,0 A0 +a30,1A1 + ... + a30,20 A20 = b30,
 
 

a1,0 B0 +a1,1B1 + ... + a1,20 B20 = c1,

a2,0 B0 +a2,1B1 + ... + a2,20 B20 = c2,

...

a30,0 B0 +a30,1B1 + ... + a30,20 B20 = c30,

ahol A0 - A20, B0 - B20 a meghatározandó ismeretlenek,

bi-k a megfelelő xII értékek,

ci-k a megfelelő yII értékek.

Az x és az y egyenletek együtthatóiból képzett mátrix mindkét esetben azonos:
 

.

A megfelelő xII és yII értékekből képzett oszlopvektorok:


 



,


És végül a polinomok meghatározott együtthatói:

.

Az adott munkaterületen a továbbiakban az így kiszámított együtthatókkal dolgozhatunk. Ha súlyponti koordinátákkal számoltunk, a kapott II. rendszerbeli koordinátákhoz a súlypont II. rendszerbeli koordinátáit hozzá kell adni.
 

Átszámítási lehetőségek a hazai alapfelületek és vetületi rendszerek között (Összefoglaló táblázat)
 

 
VTN
BES
STG
KST
HER
HKR
HDR
BOV 
IUG
EOV
KRA
GAK
WGS
XYZ
UTM
VTN
--
x
x
x
x
x
x
(x)
x
x
x
x
x
x
x
BES
x
--
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
STG
x
+
--
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
KST
x
+
+
--
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
HER
x
+
+
+
--
+
(+)
(x)
x
x
x
x
x
x
x
HKR
x
+
+
+
+
--
+
(x)
x
x
x
x
x
x
x
HDR
x
+
+
+
(+)
+
--
(x)
x
x
x
x
x
x
x
BOV
(x)
x
x
x
(x)
(x)
(x)
--
x
x
x
x
x
x
x
IUG
x
x
x
x
x
x
x
x
--
+
x
x
x
x
x
EOV
x
x
x
x
x
x
x
x
+
--
x
x
x
x
x
KRA
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
--
+
x
x
x
GAK
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
!+!
x
x
x
WGS
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
--
+
+
XYZ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
--
+
UTM
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
!+!

Jelmagyarázat

VTN = Vetületnélküli rendszer
BES = Bessel-ellipszoid
STG = Budapesti sztereografikus vetület
KST = Katonai sztereografikus rendszer (budapesti)
HER = Hengervetület északi rendszer
HKR = Hengervetület középső rendszer
HDR = Hengervetület déli rendszer
BOV = Budapesti önálló városi rendszer
IUG = IUGG1967 ellipszoid
EOV = Egységes országos vetületi rendszer
KRA = Kraszovszkij-ellipszoid
GAK = Gauss-Krüger vetület
WGS = WGS1984 ellipszoid
XYZ = Térbeli derékszögű koordináták (GPS)
UTM = UTM vetület (Universal Transverse Mercator)
+    = koordináta-módszer
x    = azonos pontok alapján
--   = nincs értelme (átszámítás önmagába)
(+) = az átszámítás koordináta-módszerrel lehetséges, de gyakorlati célokból nem lehet rá szükség
(x) = az átszámítás azonos pontok alapján lehetséges, de gyakorlati célokból nem lehet rá szükség
!+! = átszámítás ugyanazon vetületi rendszer vetületi sávjai között
 

Honlapom nyitóoldalára