1. Műszaki leírás
2. Mérési jegyzőkönyvek
3. Számítási munkarészek

• poligonok összeállítása
• abszolút magasságok
• magassági változások  táblázatosan és izovonalas, felületmodelles vagy egyéb más szemléltetéssel (a K épület alaprajzán).

 

1. számítási példa

,

m_o = 1,209,

A magassági alapponthálózatokat általában a közvetlen mérések módszerével egyenlítjük ki.
A választást az indokolja, hogy a mérési eredmények száma általában lényegesen nagyobb, mint a fölös mérések száma, így kevesebb feltételi egyenletet kell felírni, mint közvetítő egyenletet. A szintezések ellenőrzésekor amúgy is kiszámítjuk a zárt szintezési vonalak záróhibáját, így a feltételi egyenletek tisztatagjai már ismertek.
Bizonyos esetekben előfordul, hogy a magassági alapponthálózatot, vagy későbbi időpontban meghatározott bizonyos pontjait a közvetett mérések kiegyenlítése szerint számítjuk. Ez a módszer akkor célszerű, ha a pontok kiegyenlített magasságának középhibáját is meg akarjuk határozni. Ezért röviden ismertetjük ennek e kiegyenlítési módnak az elvi alapjait is.

A magassági alapponthálózatok kiegyenlítésének előkészítése

A magassági alapponthálózatok közvetlen mérések szerinti kiegyenlítésének előkészítése két részből áll:

• a feltételi egyenletek felírása,
• a mérési eredmények súlyviszonyának felvétele.

ha a nevezett poligonban m számú szintezési vonal szerepel.
Ha a kiegyenlített magasságkülönbségek értékeit a szokásos módon felbontjuk a mérési eredményekre (L) és a kiegyenlítési javításokra (v), a feltételi egyenlet a következő:

ahol a tisztatag

A feltételi egyenletek másik fajtáját akkor kell felírni, ha az alapponthálózatban két vagy több ismert magasságú pont van. Ezek a feltételi egyenletek azt fejezik ki, hogy valamelyik ismert magasságú alappontból kiindulva, a kiegyenlített magasságkülönbségekkel egy másik ismert magasságú alapponthoz kell jutni. Ha az ismert magasságú alappontok száma N, akkor N -1 ilyen feltételi egyenletet kell felírni.
Jelölje a két ismeretlen magasságú alappontot "A" és "B". A két pont között felírható feltételi egyenlet általános alakja:

A feltételi egyenletet célszerűen úgy írjuk fel, hogy az A pontból a legkevesebb mérési szakaszon át jussunk el a B ponthoz.
A feltételi egyenletekben a javítások együtthatója +1 vagy -1. A tisztatag az ilyen jellegű feltételi egyenleteknél az

összefüggésből számítható.

b) A mérési eredmények súlyviszonyának felvétele.
A feltételi egyenletek felírása után a magasságkülönbség megbízhatóságát jellemző P súlymátrixot kell összeállítani. Szintezésnél a mérési eredmények súlyát a szintezési vonalak hosszával (t_i) vagy a műszerálláspontok számával (n_i) fordított arányban szokás felvenni.
A szintezési méréseket általában a közvetlen mérések szerinti kiegyenlítéssel számítjuk, ahol a p^-1 érték szerepel a számítások során, ezért célszerű a súlyokat a

formában felírni.
Természetesen az ilyen, geometriai meggondolásból felvett súlyok esetén is az eredeti definíció miatt, ezek dimenziója mm^-2, cm^-2 stb., a tisztatag megfelelő dimenziója szerint.
Ha valamilyen ok miatt az önálló magassági alapponthálózat kiegyenlítését a közvetett mérések módszerével végezzük, akkor két tetszőleges, ismeretlen magasságú alappont között mérési eredményre az alábbi közvetítő egyenletet írjuk fel a kiegyenlítő számításokban használatos jelölésekkel:

L_ij + v_ij = (M_oj + m_j) - (M_oi + m_i).

A javítási egyenlet átrendezése után:

v_ij = - m_i + m_j + l_ij .

A fenti egyenletekben szereplő betűk jelentése a következő:

M_oi , M_oj     a pontok magasságának előzetes értéke,
m_i,  m_j          a pontok magsságának változásai,
L_ij                 a mért magsságkülönbség,
v_ij                  a magasságkülönbség kiegyenlítési javítása,
l_ij                   a tisztatag értéke.

A szintezési hálózatok közvetett mérések módszerével végzett kiegyenlítésekor  a mérési eredmények súlyviszonyait szintén a szakaszok hosszával fordított arányban állapítjuk meg.

Magassági alapponthálózatok kiegyenlítésének végrehajtása

Ha a kiegyenlítés előkészítése során felírjuk az összes feltételi egyenletet, és kiszámítjuk a tisztatagokat, akkor azokat mátrix alakban a

B*  v  + l = 0

formában foglaljuk össze.
A közvetlen módszerrel történő kiegyenlítés végrehajtásának összefüggéseit az (1, 2, 3) képletek tartalmazzák.
A kiegyenlítés eredményeként megkapjuk a kiegyenlített magasságkülönbségek értékeit.
Amennyiben a magassági alapponthálózatot valamilyen oknál fogva a közvetett kiegyenlítések módszerével számítjuk, akkor minden egyes mért magasságkülönbségre felírjuk a javítási egyenletet, kiszámítjuk az "l " tisztatagot, és meghatározzuk a hozzá tartozó súly értékét.
Megemlítjük még, hogy olyan önálló magassági alapponthálózat, amelyikben egyetlen ismert magasságú alappont sincs, és a közvetett mérések módszerével egyenlítenénk ki - a vízszintes alapponthálózathoz hasonlóan - a kiegyenlítés szempontjából szabadhálózatnak minősül. (Az ilyen magassági alapponthálózat defektusa: 1). Természetesen ilyen kiegyenlítés ritkán fordul elő.
A közvetett módszerrel történő kiegyenlítés végrehajtását az (4, 5, 6) összefüggések felhasználásával végezzük.
Kiegyenlítés után rendelkezésre áll minden egyes alappont kiegyenlített magassága.

Számítási feladat megoldása

Egy gáztöltő üzem bővítéséhez magassági alapponthálózatot létesítettünk, amely 25 pontot tartalmaz. Az alappontok egy részét az üzem területén található épületekben és alkalmas műtárgyakban öntöttvas falicsappal, az alappontok másik részét  a vízszintes alapponthálózat pontjeleiben elhelyezett  öntöttvasból készült szintezési gombbal állandósítottuk. Az alappontokról az előírásoknak megfelelően pontleírásokat készítettünk. Példaként  a 010-es és a 014-es pontok pontleírásait mutatjuk be (1. és 2. ábra).

1. ábra


2. ábra

A magassági alappontokat - amennyire lehetséges volt - a területen egyenletesen elosztva helyeztük el (3. ábra).
A csomópontok között szintezési vonalakat vezettünk, amelyeket az alappontok szintezési szakaszokra osztanak. A szintezési vonalak  hat zárt poligonból álló hálózatot alkotnak. A csomópontokat és a zárt poligonok elhelyezkedését és számozását a 4. ábrán láthatjuk. A szintezési vonalakon a nyilak az emelkedés irányát mutatják.

3. ábra

4. ábra

Az alapponthálózatot Wild N3 típusú felsőrendű szintezőműszerrel és invárbetétes szintezőlécekkel egymástól függetlenül (oda- és vissza irányban) szinteztük végig. A kiegyenlítéshez szükséges alappontok közötti magasságkülönbségeket a két mérési eredmény számtani középértékeként képeztük.
Példaként a 016 és a 020 jelű alappontok között végzett szintezés mérési eredményeit az 1. és a 2. jegyzőkönyv tartalmazza.

 

1. jegyzőkönyv



2. jegyzőkönyv

A szintezési vonalak mérési eredményeit az 1. táblázatban foglaltuk össze.

	L (m)	p	v (mm)	L (kiegyenlített)
1	3,38517	1/4,6	+ 0,00	3,38517
2	0,09904	1/1,2	- 0.01	0,09903
3	3,28609	1/0,8	+ 0,05	3,28614
4	0,05221	1/1,4	- 0,01	0,05220
5	0,22614	1/1,0	+ 0,15	0,22629
6	0,37740	1/1,8	+ 0,12	0,37752
7	0,32503	1/2,9	+ 0,44	0,32547
8	0,55171	1/1,8	+ 0,04	0,55175
9	2,69894	1/2,3	+ 0,40	2,69934
10	3,25131	1/0,9	- 0,21	3,25110
11	0,29204	1/1,3	+ 0,02	0,29206
12	0,12057	1/1,1	- 0,07	0,12050
13	0,29230	1/2,9	- 0.24	0,29206

1. táblázat

A zárt poligonok feltételi egyenletének felírásához az óramutató járásával egyező körüljárási irányt választottunk. Mivel a feltételi egyenletek könnyen felírhatók, így csak az I., II. és a VI. poligonra vonatkozókat részletezzük:

- U₁ + U₂ + U₃ = 0
- U₂ - U₄ - U₅ + U₆ = 0
.
.
- U₁₁ + U₁₃ = 0

A kiegyenlítési javításokhoz tartozó B* együttható mátrix elemei a feltételi egyenletek lineáris volta miatt egyszerűek. Az adatok az " l " tiszatatagokkal és a szintezési vonalak hosszával fordított arányban felvett súlyokkal együtt a 2. táblázatban találhatók.

p 1/4,6

1/1,2

1/0,8

1/1,4

1/1,0

1/1,8

1/2,9

1/1,8

1/2,3

1/0,9

1/1,3

1/1,1

1/2,9

l

zárt poligon száma

v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

v12

v13

(mm)

- 1

+ 1

+ 1

- 0,04

I.

- 1

- 1

-1

+ 1

+ 0,01

II.

+ 1

+ 1

- 1

- 0,54

III.

+ 1

+ 1

- 1

- 0,66

IV.

- 1

-1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 0,43

V.

- 1

+ 1

+ 0,26

VI.

2. táblázat

A normálegyenlet együtthatómátrixa a következő:

A normálegyenlet-rendszer megoldásaként a következő korrelátákat kaptuk:

k₁ = - 0,0006 mm^-1      k₄ = + 0,1751 mm^-1
k₂ = + 0,0051 mm^-1      k₅ = - 0,0626 mm^-1
k₃ = + 0,1509 mm^-1      k₆ = - 0,0813 mm^-1

A korrelátaegyenletekből számított, kiegyenlített javítások értékeit a kiegyenlített magasságkülönbségekkel együtt szintén az 1. táblázatban tüntettük fel.

A magassági alapponthálózatok megbízhatósági mérőszámai

A magassági alapponthálózatokkal kapcsolatos szintezésekkor természetesen ki kell számítani a szintezési szakaszok oda- és visszamérésének eredménye közötti eltéréseket az ún. észlelési differenciákat. A d-vel jelölt észlelési differenciák megengedett mértékét az M.1. Szabályzat a különböző rendű hálózatoknál rögzíti. A megengedett értékek mm-ben:

d_{I. rendű} = 1,2 _,

d_{II. rendű} = 2,4 _,

d_{III. rendű} = 3,6 _,

ahol L_sz a szintezési szakasz hossza km-ben.
Egyes szintezési vonalak minősítésére a vonal kilométeres középhibája szolgál. Ennek értékét a következő összefüggésből számítjuk:

ahol n a vonalban levő szakaszok száma, L_v pedig a vonal hossza km egységben.
A szintezési vonalak kilométeres középhibájának , valamint a szintezési poligonok záróhibájának megengedett értékeit az érvényben levő szabályzatok tartalmazzák. A magassági alapponthálózat kiegyenlítése során a következő megbízhatósági mérőszámok meghatározása fordulhat elő:

- súlyegység középhibája,
- kiegyenlített mérési eredmények középhibája,
- alappont magasságának középhibája.

a) A súlyegység középhibáját a (7) összefüggés szerint számítjuk.

b) A kiegyenlített mérési eredmények középhibájának számításához ki kell számítani ezek súlykoefficiens és variancia-kovariencia mátrixát a (8) és a (9) képletek segítségével.

c) A hálózat pontjainak magasságához tartozó középhibát a kiegyenlített mérési eredmények függvényeiként határozzuk meg. A függvények súlykoefficiens és variancia-kovariancia mátrixát a (10) és a (11) összefüggésekből nyerjük.

A megoldáshoz szükséges összefüggések

A B* együttható mátrix, a p súlymátrix és az l tisztatag vektor segítségével felírjuk a normálegyenletet:

          (1)

ahol k a meghatározandó korreláták vektora.
A normálegyenlet megoldásaként az ismeretlen korrelátákat kapjuk:

           (2)

A korreláta egyenletekből a mérési eredmények kiegyenlítési javításait számítjuk:

                (3)

A normálegyenlet:

          (4)

ahol r = R - d.
Az ismeretlenek váltiozásait az

       (5)

képlettel számítjuk.
A változások x vektora ismeretében az ismeretlenek kiegyenlített értékét magába foglaló X vektort az alábbi összefüggésből számítjuk:

,          (6)

ahol X_O az ismeretlenek előzetes értékének vektora.

             (7)

ahol f a fölös mérések száma, amely megegyezik az összes feltételi egyenlet számával.
A kiegyenlített mérési eredmények kiegyenlítés utáni középhibájának számításához először a Q_(U) súlykoefficiens mátrixot kell meghatározni. Ezt a hibaterjedés általános törvényének felhasználásával kapjuk:

          (8)

A kiegyenlített mérési eredmények középhibájához szükséges M_(U) variancia-kovariancia mátrix:

                (9)

A kiegyenlített mérési eredményekből számított függvények középhibájának képzéséhez először a függvények Q_(F) súlykoefficiens mátrixát kell meghatározni:

,          (10)

ahol F* az s számú függvénynek a mérési eredmények szerinti parciális differenciálhányadosát tartalmazó mátrix.
A függvények középhibájához szükséges M_(F) variancia-kovariancia mátrix pedig:

          (11)

Honlapomra