Magyarországi vetületi rendszerek

A GPS technika és a földrajzi információs rendszerek magyarországi elterjedése a térképi felhasználókkal szemben növekvő követelményeket támaszt. Számításainkban ugyanis egyre gyakrabban fordulnak elő földrajzi koordináták, melyeknek használata vetületi rendszereink tulajdonságainak nem megfelelő ismerete esetén jelentős hibaforrássá válhat. A nem szakemberek számára furcsának tűnhet, hogy ugyanannak a terepi pontnak a földrajzi koordinátái a különböző vetületi rendszerekhez tartozó alapfelületeken mások és mások.

A magyar geodézia az alapfelületek és vetületi rendszerek sokaságát örökölte. A geodéziai alapok megújításának általában szakmai okai voltak, időnként azonban a politikai befolyásolás sem kizárható. Új vetületi rendszer bevezetését indokolhatja:

Új alapfelület bevezetése akkor indokolt, ha új háromszögelési hálózatot helyezünk el rajta, vagy nemzetközi kapcsolatok miatt van rá szükség. A bevezetésnek ilyenkor is csak akkor van értelme, ha a háromszögelési hálózatot összekapcsolják a csatlakozó területével, majd a közös hálózatot együttesen kiegyenlítve helyezik el az új alapfelületen. Nem elég ugyanis csak az új alapfelület méreteit átvenni, ha annak elhelyezése nem egyezik meg a csatlakozó területen alkalmazott alapfelületével.

Nem indokolt új vetületi rendszert bevezetni akkor, ha az alapfelületet és a háromszögelési hálózatot változatlanul megtartjuk. Szögtartó vetület geodéziai célú bevezetése viszont a korábbi egyéb torzulású vetülettel szemben mindig indokolt

A következőkben összefoglaljuk a magyar kataszteri és topográfiai térképek vetületi rendszereit, valamint a sík- és alapfelületi koordináták közötti átszámítások összefüggéseit és az azokhoz szükséges állandókat.

Az UTM- vetület ismertetésére a nemzetközi kapcsolatok és az Európához való csatlakozás jegyében kerül sor.

Az összeállításban folyamatosan is haladhatunk, de lehetséges az alábbi címek választása is. Amelyik ábránál a következő forgó embléma szerepel,

ott azon kattintva térben is megszemlélhetjük az alap- és képfelületek elhelyezkedését, amennyiben háromdimenziós böngészőt (VRML Browser) korábban telepítettünk gépünkre. Az itteni emblémára kattintva kipróbálhatjuk, hogy tudtunkon kívül telepítettek-e gépünkre ilyen szoftvert. A telepítéssel (installálás) és a szoftverek használatával kapcsolatos tudnivalókat az alábbi emblémára kattintás után sajátíthatjuk el

A másodiknak nevezett (1807-től 1869-ig tartó) katonai felmérés volt az első olyan országos felmérés a Habsburg Birodalomban, amely többé-kevésbé egységes háromszögelési hálózaton alapult. A hálózat alapfelületéül választott "keverék ellipszoid" fél nagytengelye az Oriáni által 1807-ben publikált ellipszoidé (Strenk - Varga 1986), azaz

A hálózat csillagászati kezdőpontja a bécsi Szent István székesegyház (Stephansdom) tornya volt. Az ellipszoidon levőnek elképzelt, összefüggő háromszögelési hálózat oldalainak hosszát síkhossznak tekintették, a síkháromszögek szögeit pedig az ellipszoidi szögekből az ún. húrredukcióval számították.A síkháromszögek szögzáróhibáját egyenletesen osztották szét a háromszögek belső szögei között (Strenk - Varga 1986). A kiegyenlítést kísérletező módszerrel (empirikusan) végezték.

A szakirodalom szerint a síkra Cassini-féle vetülettel tértek át, bár a vetítésnek az itt alkalmazott módja nem tekinthető vetületnek a Cassini féle elv következetlen alkalmazása miatt. Cassini vetülete ugyanis az ellipszoidnak olyan érintő elhelyezésű egyenlítői (transzverzális) hengervetülete, amely általános torzulású, de a kezdőpont meridiánján és az arra merőleges geodéziai vonalakon hossztartó.

Ezen a vetületen a hossztorzulások és ennek következtében a területtorzulások így kisebbek, mint az ellipszoid egyenlítői elhelyezésű szögtartó hengervetületén a Gauss-Krüger-vetületen. Területtorzulása fele a Gauss- Krüger-vetületének.

Ezzel szemben a háromszögelési pontok síkkoordinátáit úgy számították, hogy a pontokat a kezdőpontból kiinduló sokszögvonalakba foglalták, azután a síkhosszakból és az azimutokból számították az oldalak meridián irányú és arra merőleges összetevőinek hosszát. Ezeknek az összegzésével nyerték az egyes pontok M-mel (Meridiane) és P-vel (Perpendickel) jelölt síkkoordinátáit.

Mivel a hosszakat minden irányban redukció nélkül vitték át a síkra az ábrázolásnak ez a módja nem tekinthető Cassini-féle vetületnek és nem is egyértelmű, mert a különböző útvonalakon számított koordináták között igen jelentős ellentmondások adódtak. Egy 600 km hosszú geodéziai vonal bizonytalansága kereken 1 km volt.

Az ábrázolásnál fellépő eltérések miatt kénytelenek voltak a Monarchia területén több koordináta-rendszert bevezetni. Területének nagyságától függetlenül mindegyik ország (tartomány) egy-egy koordináta-rendszert kapott.

A bevezetett tíz (ún. vetületnélküli) rendszer közül a Magyar Királyság területére három esett (1 .ábra):

1. Budai rendszer. Kezdőpontja a volt gellérthegyi csillagda keleti pillére, amelynek a bécsi Szent István székesegyház tornyából levezetett alapfelületi koordinátái Marek szerint (Marek 1875) 145. old.

3. Ivanic-i (továbbiakban: ivanicsi) rendszer. Kezdőpontja az Ivanics zárdatorony háromszögelési pont, melynek csillagászatilag meghatározott alapfelületi koordinátái:

Homoródi szerint a Budai vetületnélküli rendszer kezdőpontjának földrajzi szélessége Marek könyvében valószínűleg sajtóhibás (Homoródi 1953). Szerinte helyesen:

Marek előbb idézett könyvének (Marek 1875) 3. oldalán a következő adatpárt adja a Gellért-hegy nevű pont alapfelületi koordinátáira:

melyek eltérnek ugyanezen könyv 145. oldali adataitól is. Homoródi részletesen kifejti a Gellért-hegy kezdőpont földrajzi koordinátáinak a szakirodalomban fellelhető későbbi ellentmondásait is (Homoródi 1953).

A síkkoordináták számítása az egyes vetületnélküli rendszerekben az előzőkben ismertetett elvek szerint történt. Természetesen igen nagy ellentmondások jelentkeztek az országok (tartományok) határa közelében levő azonos pontok földrajzi koordinátáiban, amikor a két szomszédos rendszerben ismert síkkoordinátákból számították ki azokat. Ebből is következik, hogy a sík- és a földrajzi koordináták közötti átszámítások a gyakorlati követelményeket kielégítő pontossággal nem végezhetők el.

A síkkoordináta-rendszerek mindhárom vetületnélküli rendszerben délnyugati tájékozásúak. A kezdőpontban egyenesként ábrázolt meridián déli ága a +x tengely, az y tengely pozitív ága nyugat felé mutat. Ezekben a rendszerekben 1884-ig folytak a felmérések.

A harmadik katonai felmérés (1872-1887) háromszögelési alapja lényegében azonos a második katonai felméréshez készült háromszögelési hálózattal, de a pontok koordinátáit a régi mérési adatokból összeállított láncolatok segítségével újra számították. Szabatos módszerrel azonban ezt sem egyenlítették ki. Ekkor készültek azok az 1:75 000 és 1:200 000 méretarányú topográfiai térképek, amelyek - általában helyszínelt - lapjait az 1950-es évekig - a Gauss- Krüger vetületű topográfiai térképek megjelenéséig használták.

Magyarországon a kataszteri célokra alkalmazott vetítéseknél mindig kettős vetítéssel tértek át az ellipszoidról síkra vagy síkba fejthető felületre. A vetítés első lépésében az ellipszoidról a Gauss-féle minimális hossztorzulású szögtartó gömbi vetülettel (Gauss-féle gömbi vetület) tértek át az ellipszoid simulógömbjére (Gauss-gömb, közepes-sugarú gömb), majd a második lépésben a gömb valamelyik szögtartó síkvetületével a síkra (2. ábra).

A simulógömb az ellipszoidi normálparalelkör és a középmeridián metszéspontjában simul másodfokúan az ellipszoidhoz. A korábbi (XIX. századi) kettős vetítésnél a normálparalelkör gömbi földrajzi szélességét vették fel kerek értékben a régi Gauss-gömbön

Az újabb kettős vetítésnél pedig az IUGG1967 ellipszoidon kerek értékben felvett

földrajzi szélességű normálparalelkörhöz számították az új Gauss-gömbi megfelelőjét:

A vetülettanban az ellipszoidi földrajzi koordinátákat Φ, Λ -val, a gömbieket φ, λ-val jelöljük.

A Bessel-ellipszoidon a földrajzi hosszúságokat az I. világháború végéig a ferroi meridiántól mint kezdőmeridiántól mérték (Ferroi hosszúság), később a topográfiai térképeken megjelentek a greenwichi meridiántól mért greenwichi hosszúsági értékek is.

-cel nagyobbak a greenwichi hosszúságoknál, de a szakirodalomban ettől több másodpercre eltérő adatok is találhatók. Valamennyi később alkalmazott ellipszoidon (Kraszovszkij, IUGG1967, WGS1984) a földrajzi hosszúságokat a greenwichi meridiántól mérjük.

Az ellipszoidi (Φ, Λ) koordinátákból a következő zárt összefüggésekkel számítjuk a gömbi (φ, λ ) koordinátákat:

ahol Λ_o a gellérthegyi meridián ellipszoidi földrajzi hosszúsága, k és n a simulógömb elhelyezésétől függő állandók,

az ellipszoid első numerikus excentricitása, a és b pedig az ellipszoid fél-nagytengelyének, ill. fél-kistengelyének hossza.

A gömbi szélességből fokozatos közelítéssel számíthatjuk az ellipszoidit úgy, hogy első lépésben a (3) nevezőjében a zárójelen belüli részben a Φ helyébe is φ- t helyettesítünk, majd a további lépésekben mindig az utolsó (Φ) -t helyettesítjük be. Amikor a számított (Φ) az előzőtől a kívánt mértéknél (pl. 0,0001") jobban már nem tér el, az iterációt abbahagyhatjuk.

Az (1) és (3) helyett sorok vagy táblázatok is felhasználhatók, amelyek a régi Gauss-féle gömbi vetületre a (Fasching 1909) -ben (Hofmann-féle táblázat) az új gömbi vetületre pedig a (Vetületi Szabályzat 1975) - ben találhatók meg.

Mindkét Gauss-féle szögtartó gömbi vetület jellemző adatait az 1. táblázatban foglaltuk össze.

Magyarország területére 1860-ban kezdték el egy új egységes háromszögelési főhálózat számítását kiegyenlítéssel. Ehhez egyes láncolatokat és alapvonalakat újra mértek. Az így létrehozott új láncolatrendszert két csoportban egyenlítették ki. A hálózat egyik része "szorosan vett magyarországi főhálózat" néven vált ismertté. Ennek kezdőpontja a gellérthegyi csillagda keleti tornyának pillére volt.

A Gellért-hegy kezdőpont ellipszoidi koordinátáit a bécsi csillagda földrajzi koordinátáiból a Walbeck-féle ellipszoidon vezették le. Az így kapott koordinátákat Bessel-ellipszoidiaknak fogadták el.

Az ún. "erdélyrészi főhálózat" kifejlesztése is hasonló elvek szerint történt. Kezdőpontjának alapfelületi koordinátáit részben a Gellért-hegy pontból a háromszögelési hálózat felhasználásával, részben csillagászati mérésekkel határozták meg.

Horvátországban a dunántúli háromszögelési hálózathoz csatlakozóan fejlesztettek ki új hálózatot 1901-1907 között.

A Bessel-ellipszoidról a Gauss-féle gömbi vetülettel vetítettek a régi Gauss-gömbre, onnan pedig két ferdetengelyű sztereografikus vetülettel a síkra. Sztereografikus vetületen a kezdőponttal (K) átellenes gömbfelületi pontból (Q) egyenesekkel (perspektív módon) vetítjük a gömbfelületi pontokat a kezdőpontban érintő vetületi síkra (3. ábra).

1. Budapesti rendszer. Kezdőpontja a Gellért-hegy nevű háromszögelési pont Gauss-gömbi megfelelője. Ennek 1908-ig használt földrajzi koordinátái a Bessel-ellipszoidon:

Fasching Antal 1908-ban a János-hegyen végzett földrajzi helymeghatározás eredményéből vezette le a Gellért-hegy pont új Bessel-ellipszoidi

2. Marosvásárhelyi rendszer. Kezdőpontja Kesztej-hegy nevű háromszögelési pont Gauss-gömbi megfelelője, melynek a Katonai Földrajzi Intézet által 1891-ben csillagászatilag meghatározott Bessel-ellipszoidi földrajzi szélessége:

Ugyanekkor a földrajzi hosszúságot nem határozták meg, és a szélességet is csak közelítéssel számították. 1909-ben újabb kiegyenlítéssel

1908-ben Fasching a Gellért-hegyről a háromszögelési hálózat felhasználásával levezetette a Kesztej-hegy nevű pont Bessel-ellipszoidi és gömbi koordinátái (Fasching 1909):

Mint látható a sztereografikus rendszerek bevezetésénél a Budapesti rendszer kezdőpontjaként elfogadták a Budai vetületnélküli rendszer kezdőpontját, Erdélyben viszont a Vízaknai-hegy helyett központibb fekvésű pontot (Kesztej-hegy) jelöltek ki új kezdőpontnak. A budapesti rendszert a szorosan vett Magyarország területén a marosvásárhelyi rendszert a Király-hágón túli területeken alkalmazták (4. ábra).

Mindkét rendszerben a kezdőpont meridiánjának egyenesként ábrázolt képe a síkkoordináta-rendszer x tengelye, a kezdőpontban a meridiánra merőleges gömbi főkör (ortodroma) szintén egyenes képe pedig az y tengely. Az x tengelyek pozitív ága délre, az y tengelyeké nyugatra mutat (DNy-i tájékozású koordináta-rendszerek).

Az Állami Földmérés és 1937-ig a katonai topográfia is az előbbi koordináta-rendszerekben értelmezett y_ST és x_ST koordinátákat alkalmazta. 1937-től a negatív előjelű koordináták kiküszöbölése céljából a topográfiában az y_ST, x_ST vetületi koordinátákat egy C állandóból kivonva nyerték az y_KST, x_KSTkatonai sztereografikus koordinátákat:

Ilyen módon a katonai rendszerekben a koordináta-rendszer tájékozása is korszerűbbé, ÉK-ivé vált.

Itt az ivanicsi vetületnélküli koordinátákat vonták ki C-ből. Mivel a katonai koordinátákat az ivanicsi rendszerben hasonlóképpen számították mint a sztereografikus rendszerekben, azért terjedhetett el a szakirodalomban is az a nézet, hogy az ivanicsi rendszer is sztereografikus volt.

Az irányszög- és távolságszámításon kívül mindenféle vetületi számítás csak az eltolás nélküli koordinátákkal végezhető, ezért ilyen számítások előtt vissza kell térni a vetületi koordinátákra:

Az 1930-as években Budapest városmérése céljára új, korszerű háromszögelési hálózatot fejlesztettek ki. Az önálló hálózat több pontja része az országos háromszögelési hálózatnak is. A régi Gauss-gömbön kifejlesztett városi háromszögelési hálózatot sztereografikus vetítéssel vitték át a síkra. Ezt nevezik Budapesti Önálló Városi Rendszernek (BÖV).

Az alapfelületet, a vetületi kezdőpontot és a koordináta-tengelyek tájékozását tekintve a BÖV megegyezik a Budapesti sztereografikus (országos) vetületi rendszerrel. Az egyes rendszerekben a síkkoordináták a háromszögelési hálózatok különbözősége miatt mégis kis mértékben eltérnek egymástól, ezért közöttük az átszámítás csak mindkét rendszerben ismert koordinátájú pontok (azonos pontok) felhasználásával - nem szabatos módon - végezhető.

Mivel a magyarországi háromszögelési hálózatot több részletben egyenlítették ki, a két országos sztereografikus rendszer között sem lehetett koordináta-módszerrel átszámítani. Ez utóbbi átszámításokra gyakorlati célokból napjainkban már nem lehet szükség.

A Budapesti sztereografikus, a Budai vetületnélküli és a BÖV kezdőpontjai és a koordináta-tengelyek tájékozása is megegyeznek, ezért a három rendszerben a koordináták csak néhány dm-rel vagy m-rel különböznek egymástól az alapfelületek, a háromszögelési hálózatok és a vetületi (vetület nélküli) rendszerek különbözősége miatt. Az eltérések a vetületi kezdőponttól (Gellért-hegy) távolodva nőnek. Ezért, ha sztereografikus koordinátákat rakunk fel egy sztereografikusnak vélt régi térképre, és ott az előbbi ellentmondások jelentkeznek, akkor a térkép nagy valószínűséggel vetületnélküli rendszerben készült. Ez a tévedés Budapest területén nem fordul elő, mert ott nem találkozunk vetületnélküli vagy országos rendszerű sztereografikus koordinátákkal, a használatban levő térképek pedig BÖV -ben vagy EOV-ben készültek.

A sztereografikus rendszerekben készített nagyméretarányú (kataszteri) térképek szelvényhálózatai:

Bessel-ellipszoidi koordinátákból az (1) és (2)-vel számítjuk a Gauss-gömbi φ, λ -t a régi gömbi vetület 1. táblázatban található állandóival, majd azokból a síkkoordinátákat (Hazay 1964):

ahol R a régi Gauss-gömb sugara, φ_o pedig a vetületi kezdőpont (Budapesti rendszerben a Gellért-hegy pont) gömbi földrajzi szélessége. A gömbi földrajzi hosszúságok előjelét a szakirodalom különböző helyein másképpen értelmezik. Mivel a λ előjele csak megegyezés kérdése, az egységesség érdekében a továbbiakban a kezdőpont meridiánjától keletre pozitívnak tekintjük.

Sztereografikus síkkoordinátákból az alábbi egyenletekkel nyerjük a gömbi földrajzi koordinátákat (Bácsatyai 1993):

Ezután a (3) és (4) összefüggésekkel és az 1. táblázatnak a régi gömbi vetületre vonatkozó állandóival számíthatjuk a Bessel-ellipszoidi koordinátákat.

Az érintő hengervetületek bevezetésekor (1908) Fasching Antal a Gellért-hegy nevű háromszögelési pont gömbi és azokból ellipszoidi koordinátáit is újból levezette (Lásd a sztereografikus vetületnél is) és a háromszögelési hálózatot is újból tájékozta úgy, hogy a Gellért-hegy pont gömbi megfelelőjéből kiinduló háromszögoldalak azimuját 6,44"-cel csökkentette. Ennek eredményeként a hálózat pontjainak gömbi és ellipszoidi koordinátái is kis mértékben megváltoztak. A hengervetületi rendszerekre az így elfordított hálózatot vetítették, de a pontok sztereografikus koordinátáit változatlanul hagyták.

Ezek után, ha egy pont budapesti sztereografikus és hengervetületi koordinátáiból kiszámítjuk a gömbi földrajzi koordinátákat, egymástól eltérő eredményeket kapunk. Ez természetesen az ellipszoidi koordinátákra is vonatkozik. A sztereografikus és a hengervetületi koordinátákból számítható azimutok különbsége csak egy a Gellért-hegy ponton átmenő görbe vonalon 6,44", máshol ezzel közel egyenlő, pontonként minden irányban állandó érték.

Az Állami Földmérés az új elhelyezésnek és tájékozásnak megfelelő, a topográfiai felméréseket végző katonai térképészet az új elhelyezés szerinti alapfelületi koordinátákat fogadta el (újbóli tájékozás nélkül). Tehát valamely pontnak az alapfelületi (ellipszoidi, gömbi) koordinátái különbözők a korábbi és az új elhelyezés szerinti topográfiai térképeken.

A felsorolt ellentmondások az Állami Földmérésben nem okoztak nehézséget, mert a kataszteri térképeken a fokhálózati vonalakat sohasem tüntették fel, a sztereografikus és hengervetületek közötti átszámításoknál pedig az új elhelyezést és tájékozást egyszerűen figyelembe lehet venni.

Magyarországot három ferdetengelyű érintő hengervetület fedi. A hengervetületi északi rendszer (HÉR) a 47° 55´ földrajzi szélességtől északra fekvő területekhez, a hengervetületi középső rendszer (HKR) a 46° 22´ és a 47° 55´ földrajzi szélességekkel határolt sávhoz, a hengervetületi déli rendszer (HDR) pedig a 46° 22´ földrajzi szélességtől délre levő területekhez tartozik (5. ábra).

A hengervetületi rendszerek kezdőpontjai az új elhelyezésnek és tájékozásnak megfelelő gellérthegyi meridiánon helyezkednek el. A kezdőpontok 2. táblázatban közölt alapfelületi koordinátái csak az Állami Földmérés által elfogadott tájékozásnak felelnek meg (Utasítás 1943):

Mindhárom képfelületi henger a kezdőpontban a gellérthegyi meridiánra merőleges gömbi főkör (segédegyenlítő) mentén érinti a régi Gauss-gömböt (6. ábra). A síkbafejtett hengerpaláston az előbbi meridián képe adja a hengervetületi rendszerek x tengelyét, a segédegyenlítők képei pedig az y tengelyeket. A koordináta-rendszerek tájékozása a sztereografikus vetületekéhez hasonlóan DNy-i (5. ábra).

Mivel a gömb érintő hengervetületi rendszereiben nem készültek topográfiai térképek, gyakorlati célokból nem fordulhat elő, hogy hengervetületi koordinátákból az új elhelyezésnek és tájékozásnak megfelelő alapfelületi koordinátákat kelljen számítanunk.

Az érintő hengervetületi rendszerekben készített nagyméretarányú (kataszteri) térképek szelvényrendszerei:

Ha a régi elhelyezésnek megfelelő alapfelületi koordinátákra van szükségünk , előbb sztereografikus koordinátákat számíthatunk a hengervetületiekből (Varga 1997) , majd azokból a sztereografikus vetületnél ismertetett módon Bessel-ellipszoidi koordinátákat.

Ha valamilyen okból mégis az új elhelyezésnek és tájékozásnak megfelelő Bessel-ellipszoidi koordinátákból kívánunk valamelyik ferdetengelyű, érintő hengervetületen síkkoordinátákat számítani, akkor előbb φ, λ Gauss-gömbi koordinátákat, majd azokból a kérdéses hengervetületre vonatkozó segédföldrajzi koordinátákat számítunk:

A φ, λ-t (1) és (2)-vel számítjuk a régi gömbi vetület 1. táblázatból vett állandóinak felhasználásával. A (7) egyenlet φ_o-ját a 2. táblázatból vesszük.

A hengervetületi síkkoordináták számítására szolgáló összefüggések:

Ha viszont ferdetengelyű, érintő hengervetületi síkkoordinátákból kívánunk az új elhelyezés és tájékozás szerinti Bessel-ellipszoidi koordinátákat számítani, akkor előbb gömbi segédföldrajzi koordinátákat

végül a (3) és (4) egyenletekkel Bessel-ellipszoidi koordinátákat kapunk. A (10) képlet φ_o-ját a 2. táblázatból, a (3) és (4)-hez szükséges állandókat az 1. táblázat gömbi vetületre vonatkozó oszlopából vesszük.

A Gauss- Krüger vetület a forgási ellipszoid (transzverzális) elhelyezésű, érintő, szögtartó hengervetülete. A képfelületi henger tengelye az egyenlítő síkjában fekszik, és átmegy az ellipszoid középpontján. Az ellipszis keresztmetszetű henger mindig egy-egy ábrázolandó ellipszoidi kétszög (sáv) középmeridiánja mentén érinti az alapfelületet. A vetítés szögtartó módon történik az ellipszoid felszínéről a henger palástjára, amit ezután egy alkotója mentén elvágva kiterítenek a síkba (7. ábra).

Topográfiai térképezéshez 6° -os, nagyméretarányúhoz 3° -os, esetleg 2° -os sávszélességet alkalmaznak. A nemzetközi sávbeosztásnak megfelelően Magyarország területe két darab ilyen 6° -os sávra esik, a 33. sorszámúra 15° -os és a 34.-re 21° -os földrajzi hosszúságú (greenwichi) középmeridiánokkal.

Mindegyik sávnak külön síkkoordináta-rendszere van, melyeket az kapcsolja egybe, hogy y tengelyük az egyenlítő egyenesként jelentkező képével esik egybe. Az x tengelyek pedig a sáv középmeridiánjának ugyancsak egyenesként, és az egyenlítő képére merőlegesen jelentkező képei (8. ábra). Az y tengelyek pozitív ága K-re, az x tengelyeké É-ra mutat (ÉK-i tájékozás).

A vetület matematikai összefüggései a szögtartóság alapegyenletéből vezethetők le. A szakirodalomban általában azok a sorok találhatók, amelyek a logaritmikus számításoknál és táblázatok használatánál voltak alkalmasak (Hazay - Tárczy 1951, Hazay 1964, Bácsatyai 1997) . Az alábbiakban a hosszadalmas levezetés mellőzésével a koordináta-számításoknak egy - a mai gyakorlatban célszerűbben felhasználható - algoritmusát közlöm (Krüger 1912, Plewako 1991) .

A Gauss-Krüger vetületben készült térképek szelvényrendszerei.

és az alkalmazott ellipszoid első numerikus excentricitásának behelyettesítésével gömbi φ, λ-t számítunk. A Λ_ohelyébe a sáv középmeridiánjának földrajzi hosszúságát helyettesítjük. Majd a továbbiakban:

A (12) vagy (13)-ból kapott x koordináta megegyezik a Gauss- Krüger X-szel, az y -hoz viszont a negatív előjelű koordináták elkerülése céljából Y_o = 500 000 m-t kell hozzáadni (9. ábra):

Majd (3) és (4)-ből k = n = 1 és az alkalmazott ellipszoid első numerikus excentricitásának (ε ) behelyettesítésével kapjuk az ellipszoidi koordinátákat. A 33. sávban 15° -ot, a 34. sávban 21° -ot írunk (4)-ben a Λ_ohelyébe.

Az itt felsorolt összefüggések az UTM vetületnél változtatás nélkül felhasználhatók lesznek, a különbség csak annyi, hogy a Gauss- Krüger vetületnél az m_ohelyébe 1-et, az UTM-nél 0,9996-ot kell helyettesíteni.

Az 1940-es évek elején a katonai hadvezetés a Gauss-Krüger vetület bevezetése mellett döntött. Ehhez háromszögelési hálózatunkat összhangba hozták a környező országok hálózataival. A hálózatot lényegében újból el kellett helyezni a Bessel-ellipszoidon.

Az elhelyezést olyan elsőrendű pontok felhasználásával végezték, amelyeknek a közép-európai elhelyezésű és a hazai elhelyezésű Bessel-ellipszoidi koordinátái ismertek voltak. A Gellért-hegy pontra az alábbi értékeket fogadták el (Homoródi 1952) :

Az új elhelyezés szerinti földrajzi hosszúságokat a fiktív Ferro helyett a greenwichi kezdőmeridiánra vonatkoztatták. A katonai térképészet már a harmincas években áttért a greenwichi hosszúságok használatára, melyhez a

Végeredményül a Bessel-ellipszoidra vonatkozó Gauss-Krüger koordinátákat kaptak, amelyek a FÖMI (Földmérési és Távérzékelési Intézet) Adattárában az ún. tüzér pontjegyzékekben található DHG koordináták (Deutsche Heeresgitter). A II. világháború előtt Gauss-Krüger vetületben és szelvényezésben csak német kiadású topográfiai térképek készültek (Timár 2004).

Új háromszögelési hálózatunk kialakítása 1948-ban kezdődött meg. A kiegyenlítési munka egyszerűsítésének kedvéért az országhatárok mentén körbefutó egy-, ill. kétsoros koszorúhálózatot fejlesztettek ki, melyet a Duna-Tisza közén egy É-D irányú egysoros láncolattal merevítettek ki. A koszorúrendszer a klasszikus eljárás elvei szerint készült el.

A koszorúhálózat két nagy területet zárt közre, egyiket a Dunántúlon, másikat a Duna-Tisza közén és a Tiszántúlon. Ezeken a területeken a kitöltő hálózatokat az ún. domináns pontok módszerével fejlesztették ki (Hazay - Szalontai 1973).

A Varsói Szerződés vetületi rendszereként a Gauss-Krüger vetületet fogadták el Kraszovszkij-ellipszoid alapfelülettel:

Az ezen elhelyezett Egységes Asztrogeodéziai Hálózat (EAGH) a kelet-európai országok és a Szovjetunió európai részének csatlakoztatott és közösen kiegyenlített elsőrendű hálózatát foglalja magában. Elnevezése: S-42 rendszer (System 1942.). A benne résztvevő magyarországi pontok száma 139. Az EAGH közös kiegyenlítésére két alkalommal került sor, 1958-ban és 1983-ban (jelzésük: EAGH-58 és EAGH-83).

Az országos háromszögelési hálózat pontjainak (I. - IV. rendű) koordinátáit a nagyméretarányú felmérések céljára is alkalmas 4 db. 3° -os sávon számították 15°, 18°, 21° és 24° -os középmeridiánokkal. Később úgy döntöttek, hogy a Gauss-Krüger vetület csak katonai célokat fog szolgálni, ezért 2 db. 6° -os sávra számították át a koordinátákat. A nemzetközi sávbeosztásnak és számozásnak megfelelően ezek közül egyik a 33. sáv 15°-os, a másik a 34. sáv 21°-os középmeridiánnal.

(15)-ben a negatív előjelű koordináták kiküszöbölése céljából az Y számításánál mindkét sávban

az eltolás mértéke. A sávok megkülönböztetése miatt a 33. sávban 3-as, a 34. sávban 4-es vezérszámot írnak a Y koordináta elé.

A Gauss-Krüger vetületben készült topográfiai térképek szelvényszámozásának alapja az 1 : 1 000 000 méretarányú szelvény, melynek területét a 6°-os sávok szegélymeridiánjai és egymástól 4°-ra levő paralelkörök határolják. Magyarország területe az L-33, L-34, M-33, M-34 jelű lapokra esik (10. ábra).

Kraszovszkij -ellipszoid alapfelületű Gauss-Krüger vetülethez a (14) és (19) egyenletek alábbi együtthatóit használhatjuk:

Mivel a Gauss-Krüger koordinátákhoz a polgári szervek titokvédelmi okokból nehezen fértek hozzá, az ÁFTH (Állami Földmérési és Térképészeti Hivatal) úgy döntött, hogy az új háromszögelési hálózatot transzformációs eljárással a XIX. szd. közepén számított elsőrendű pontok által meghatározott keretbe kell illeszteni. Ehhez az azonos pontok két rendszerbeli koordinátáiból az ország egész területére egyetlen transzformációs polinompárt vezettek le (Bod 1982).

A transzformált és az eredeti sztereografikus koordináták különbségéből nomogramot szerkesztettek. A nomogramból kiolvasott Dy, ill. Dx értékekkel megjavítva a polinomból kapott értékeket kapták az ún. "transzformált sztereografikus koordinátákat" , amelyeket az adott területnek megfelelő ferdetengelyű, érintő hengervetületi rendszerekbe (HÉR, HKR, HDR) is átszámítottak. Az így számított koordinátákat, - amelyek az azonos pontoknál a háromszögelési hálózatok különbözősége miatt esetenként több dm-rel is eltérnek az eredeti koordinátáktól - a háromszögelési pontok pontleírásain "Tr " -rel jelölik.

Korábbi vetületi rendszereink a megnövekedett igényeket nem tudták kielégíteni. Mint a Gauss-Krüger vetületnél is láttuk az 1948-tól kezdődően kifejlesztett új, korszerűbb háromszögelési hálózatunk pontjait csak a minőség lerontásával lehetett a régi hálózatba transzformálás után a korábbi vetületi rendszerekben felhasználni. Ezért célszerűnek látszott egy új, korszerű alapokon nyugvó vetületi rendszer bevezetése.

A felsőrendű háromszögelési hálózat korszerűsítése során - a javító célzatú méréseken túlmenően - nagy számú háromszögoldal hosszát mérték meg elektrooptikai távmérővel, a Laplace-pontok számát pedig több mint kétszeresére (40 db.) növelték.

A hálózatot 1971-73 között homogén hálózatként egyenlítették ki a Kraszovszkij-ellipszoidon. Ehhez változatlanul elfogadták a Szőlő-hegy nevű pont EAGH-beli koordinátáit és kezdő azimutként a Szőlő-hegy - Erdő-hegy azimutot. Ezt a hálózatot a szakirodalom a FAGH (Felületi Asztrogeodéziai Hálózat) névvel jelöli. A pontok koordinátáit Gauss-Krüger vetületen számították.

1969 -1975 között új geodéziai vonatkozási rendszer került bevezetésre. Az új alaphálózat mérési anyaga lényegében azonos a FAGH mérési anyagával, alapfelületül azonban az IUGG1967 ellipszoidot választották. Az IUGG1967 ellipszoid a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió által 1967-ben elfogadott alapfelület, amelynek jelölésére használatos a GRS67 (Geodetic Reference System) jelölés is. A hálózatot önálló relatív tájékozással helyezték el az ellipszoidon. Az ellipszoid jól simul a geoid magyarországi részéhez, de a tájékozás relatív volta miatt az ellipszoid térbeli elhelyezése nem geocentrikus (földközéppontú). Ez a vonatkozási rendszer később a HD-72 (Hungarian Datum 1972.) elnevezést kapta.

Az ellipszoidról a síkra a hagyományoknak megfelelően akkor is kettős vetítéssel tértek át. Első lépésben az IUGG1967 ellipszoidról az ellipszoid gömbi vetületével az új Gauss-gömbre, onnan pedig egyetlen ferdetengelyű, két hossztartó segédparalelkörű, (redukált) szögtartó hengervetülettel a síkra (1. és 2. táblázat). Ez utóbbit nevezzük Egységes országos vetületnek (EOV) (Vetületi szabályzat 1975).

A szakirodalomban az ilyen vetületeket szokásos süllyesztett vagy metsző hengervetületnek is nevezni, azonban ezek az elnevezések nem fedik a vetület lényegét. Süllyesztett vagy metsző hengerről csak perspektív vetítés esetén beszélhetünk; az ilyen vetületek azonban általános torzulásúak, és ezért geodéziai célokra nem alkalmasak. Ezért helyesebb a redukált hengervetület elnevezés.

Az EOV vetületi kezdőpontja az új Gauss-gömb gellérthegyi meridiánján (kezdőmeridián)

földrajzi szélességű pontja. A földrajzi hosszúságokat itt is a gellérthegyi meridiántól mérjük (előjelük is keletre pozitív). A kezdőmeridián képe adja az x tengelyt, a kezdőpontban a kezdőmeridiánra merőleges gömbi főkör (segédegyenlítő) képe az y tengely. Az x tengely pozitív ága északra, az y tengelyé keletre mutat (ÉK-i tájékozású rendszer).

A redukálás miatt a segédegyenlítőre szimmetrikusan elhelyezkedő két segédparalelkör torzulásmentes (11. ábra). Ezek között a hosszak csökkennek, rajtuk kívül pedig nőnek. A hosszak rövidülése a segédegyenlítőn éri el maximális értékét.

Gyakorlati okokból a síkkoordináta-rendszer kezdőpontját az ország területén kívül eső, alkalmasan kiválasztott pontba helyezték át (12. ábra). Az eredeti (y, x) vetületi koordináták és a kezdőpont áthelyezése eredményeként nyert (Y, X) síkkoordináták közötti összefüggés:

feltétel. Tehát az eltolt koordináták abszolút értékéből egyértelműen megállapítható, hogy X vagy Y koordinátáról van-e szó. A távolság- és irányszög számításon kívül természetesen minden vetületi számítás csak az x, y koordináta párral végezhető.

IUGG1967 ellipszoidról EOV koordináták számításához először az 1. táblázatból az új kettős vetítés állandóit felhasználva (1) és (2)-vel kapjuk az új Gauss-gömbi koordinátákat, majd (7)-ből az EOV vetületi kezdőpontjától függő segédföldrajzi koordinátákat, végül az EOV síkkoordinátákat:

Az érintő elhelyezésre vonatkozó koordinátákat a (22)-ben az m_o = 0,99993 vetületi méretarány-tényezővel szorozzuk, amely megegyezik a segédegyenlítő lineármodulusával és a torzulásmentes segédparalelkörök földrajzi szélességének koszinuszával (cos φ'_m).

Ha az EOV síkkoordinátákból IUGG1967 ellipszoidi koordinátákat akarunk számítani, akkor első lépésben - mint bármely vetületi számításnál - visszatérünk az eltolás nélküli, vetületi koordinátákra:

majd (10)-ből a gömbi földrajzi koordináták, végül (3) és (4)-ből az IUGG1967 ellipszoidi koordináták számítása.

Az EOV-ben készült térképek térképrendszere az EOTR (Egységes országos térképrendszer), melyben nagyméretarányú (kataszteri) és topográfiai térképek egyaránt készülnek.

Az UTM vetület az ellipszoid egyenlítői elhelyezésű (transzverzális) redukált, szögtartó hengervetülete. A meridián-ellipszisnél kisebb keresztmetszetű egyenes henger a vetületi sáv középmeridiánjára szimmetrikusan elhelyezkedő két torzulásmentes vonalon (normálellipszisen) metszi az ellipszoidot (13. ábra). A vetítés a Gauss-Krüger vetületnél megismert módon történik az ellipszoid felszínéről a hengerpalástra, majd annak kiterítésével a síkra.

A torzulásmentes vonalak között a hosszak csökkennek, rajtuk kívül pedig nőnek. A torzulásmentes vonalak a sáv középmeridiánjától ΔΛ_o = 1° 37´ 15" -re levő pontokban metszik az egyenlítőt. A síkkoordináta-rendszerek is hasonlóképpen alakulnak, mint a Gauss-Krüger vetületnél. Az érintő elhelyezéshez tartozó síkkoordinátákat az

Az Európához és a NATO-hoz való csatlakozás, valamint a GPS technika alkalmazása új egységes koordináta-rendszert kíván meg, amit Magyarországon a katonai topográfiában a WGS84 ellipszoidhoz mint alapfelülethez tartozó UTM vetület biztosít (Bácsatyai 1993, Varga 1987). A nyugat-európai országokban általában a Hayford-féle ellipszoidot alkalmazzák alapfelületként. A sávszélesség 6° -os és a középmeridiánok ugyanazok mint a Gauss-Krüger vetületnél.

Az UTM vetületi számításoknál a Gauss-Krüger vetület összefüggéseit használhatjuk, néhány jelölésbeli különbséggel (3. táblázat):

A Gauss-Krüger vetületnél az X_o = 0, az UTM FN eltolás értéke csak az egyenlítőtől északra 0 (így Magyarországon is), délre pedig 10 000 000 m. A Gauss-Krüger Y_o eltolás értéke mindegyik sávban 500 000 m, ezért a sáv megkülönböztetése érdekében a Y koordináta elé az ún. vezérszámot (a 33. sávnál 3, a 34. sávnál 4) írjuk. Az UTM FE eltolás értéke is mindegyik sávban 500 000 m (14. ábra), így a sáv meghatározásához itt is szükségünk van még egy adatra, nevezetesen annak a 6° x 8° -os ellipszoidi négyszögnek a jelzésére, amelyikben a pontunk elhelyezkedik. Magyarország területén ezeknek a négyszögeknek az elhatároló vonalai ugyanazok, mint a Gauss-Krüger szelvényezésnél, csak másik ellipszoidon. Itt 33 T, 33 U, 34 T vagy 34 U jelzéseket írjuk a pont helyzetétől függően az E koordináta elé vagy mögé (15.ábra).

alkalmazzák (Defense Mapping Agency, Technical Manual). Ennek előnye, hogy valamely pont helyzetét egyetlen azonosítóval lehet megadni, de hátránya, hogy a vetületi számításokhoz ezt az azonosítót vissza kell alakítani sík- vagy földrajzi koordinátákká. Az MGRS azonosító három részből tevődik össze:

- a 6° x 8° -os ellipszoidi négyszög jelzése (pl. 34T)
- ezen belül egy 100 km x100 km-es hálózati mező azonosítója (pl.: DT, lásd 16. ábrán sötétítve)
- az előbbi mezőn belüli részkoordináták E és N sorrendben (pl.:5341527959, ami 53 415 m és 27 959 m-t jelent)

16. ábra. MGRS keresőhálózat Magyarország területén

Az azonosítás pontosságát a harmadik tag számjegyei határozzák meg. A meghatározás maximálisan méter élességgel (1 m²-es terület) történhet, ez tíz (5+5) számjegyet jelent.
Így a példa szerinti MGRS azonosító:

34TDT5341527959,

ami

34T E = 453 415 m, N = 5 227 959 m

UTM síkkoordinátáknak felel meg.

Az UTM vetületi számításokhoz is a Gauss-Krüger vetületnél megismert összefüggéseket kell használni, azzal a különbséggel, hogy a Gauss-Krüger vetületnél az m_ohelyébe 1-et, az UTM-nél 0,9996-ot kell helyettesíteni, valamint a (14) és (19)-ből számítható állandókat az elfogadott alapfelülethez kell meghatározni. Az előbbi állandóknak a gyakorlati követelményeknek megfelelő pontossággal kiszámított értékei a WGS84 ellipszoidra:

R = 6 367 449,149 m

α₂ = 8,377 318 E-04
α₄ = 7,608 5 E-07
α₆ = 1,2 E-09
α₈ = 0
β₂ = 8,377 322 E-04
β₄ = 5,9 E-08
β₆ = 2 E-10
β₈ = 0

Az UTM vetületben készült térképek szelvényrendszerei.

A GEOREF rendszer

A síkkoordináta-rendszer mellett létezik még a GEOREF (World Geographic Reference System) elnevezésű, földrajzi fokhálózatra épülő - vetületi rendszerektől független - rendszer is. A GEOREF azonosító is három részből áll (Defense Mapping Agency, Technical Manual):

1. A 15° x 15° -os mező azonosítója; oszlop és sor sorrendben (pl.: MK) (17. ábra). A tévedések elkerülése érdekében a betűk között nem szerepel az I és az O.

17. ábra. 15° x 15° -os ellipszoidi négyszögek

2. A 15° x 15° -os mezőn belül az 1° x 1° -os almező azonosítója, ismét oszlop és sor sorrendben (pl.: PG) (18. ábra). A betűk között itt sem szerepel az I és az O.

18. ábra.1° x 1° -os almező azonosítása

3. Az 1° x 1° -os almezőn belül a földrajzi hosszúság és szélesség percben kifejezve a bal alsó (DNy-i) sarokhoz viszonyítva (pl.: 12 04) (19. ábra). 10'-nél kisebb percértékek elé a 0-t ki kell írni. Lásd példánkban a 4'-et!

19. ábra. Az almezőn belüli azonosítás

Végeredményben a kérdéses 1' x 1' kiterjedésű terület GEOREF azonosítója:

MK PG 12 04

Ha a betűjelzések után hat, illetve nyolc számjegy áll, azt jelenti, hogy 0,1' x 0,1'-es vagy 0,01' x 0,01'-es négyzet azonosítóját adták meg. Ilyen kis területeknél már arra is ügyelni kell, hogy kölönböző ellipszoidok esetén a földi pontok földrajzi koordinátái általában több másodperccel különböznek egymástól, ami a terepen néhányszor 10 m-es eltérést is eredményezhet.
A részkoordinátákat - a földrajzi elhelyezkedéstől függetlenül - mindig az almező DNy-i sarokpontjától kell megadni. A greenwichi meridiántól Ny-ra és az egyenlítőtől D-re a részkoordináták 1°-ra egészítik ki a tényleges földrajzi koordináta percértékét. Példánkban a hely Ny-i hosszúsága 1° 48', a részkoordináta pedig 12'.
Magyarország földrajzi elhelyezkedése ilyen szempontból kedvező, mert a koordináták percértékei közvetlenül a részkoordinátákat adják.

Vissza a nyitóoldalra

Irodalom

Ádám J.: Az egységes európai geodéziai alapok létrehozásával kapcsolatos időszerű feladatok. Geodézia és Kartográfia. Bp., 1996/6.
Bácsatyai L.: Magyarországi vetületek. Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó. Bp., 1993.

Bácsatyai L.: Magyarországi vetületek. Nyugat - Magyarországi Egyetem. Sopron 2005.

http://geo.efe.hu/hun/onlinejegyzet/vetulet/vetuletek.pdf

http://geo.efe.hu/download/vetuletek.zip

Balla J. - Hrenkó P.: A magyar katonai térképészet története I. Térképész Szolgálat Főnökség. Bp., 1991.

Bod E.: A magyar asztrogeodézia rövid története 1730-tól napjainkig I., II. rész. Geodézia és Kartográfia. Bp., 1982.

Defense Mapping Agency, Technical Manual, Datums, Ellipsoids, Grids, and Grid Reference Systems.

Fasching A.: A magyar országos háromszögelések és részletes felmérések új vetületi rendszerei. Magyar Királyi Pénzügyminisztérium. Bp., 1909.

Földváry Sz-né: Alaphálózatok II. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó. Bp., 1989.

Hazay I. - Tárczy-Hornoch A.: A Gauss-Krüger koordináták számítása. Akadémiai Kiadó. Bp., 1951.

Hazay I.: Földi Vetületek. Akadémiai Kiadó. Bp., 1954.

Hazay I.: Vetülettan. Tankönyvkiadó. Bp., 1964.

Hazay I. - Szalontai L.: Országos felmérés és műszaki földrendezés. Tankönyvkiadó. Bp., 1973.

Homoródi L.: Vizsgálatok új háromszögelési hálózatunk elhelyezésére. Földméréstani Közlemények. Bp., 1952/1.

Homoródi L.: Régi háromszögelési hálózataink elhelyezése és tájékozása. Földméréstani Közlemények. Bp., 1953/1.

Jankó A.: Magyarország topográfiai térképművei 1869-1950 között. Doktori értekezés. Bp., 1990.

Krüger, L.: Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, B. G. Teubner , Leipzig, 1912.

Marek, J.: Technische Anleitung zur Ausführung der Trigonometrischen Operationen des Katasters. Pénzügyminisztérium. Bp., 1875.

Medvey A.: Magyarország topográfiai térképészete. Térképészeti Közlöny. Bp.,1932/1933.

Mihály Sz.: A magyarországi geodéziai vonatkozási és vetületi rendszerek leíró katalógusa. Geodézia és Kartográfia. Bp., 1994/4.

Plewako, M.: Enlargement of effecient application of L. Krüger' s algorithm for computation of rectangular coordinates in the Gauss-Krüger projection in a wide meridional zone. Zeszyty Naukowe Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanislawa Staszica. Nr. 1423. Geodezija z. 112. Kraków 1991.

Poronyi Z.: A sztereografikus és hengervetületi rendszerek összefüggése a vetületnélkülivel. Geodéziai Közlöny. Bp.,1935.

Rédey I.: A geodézia története. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó. Bp., 1966.

Soha G.: A magyar geodéziai alapok értékelése. Előterjesztés a Geodéziai Bizottság napirendi témájára. Kézirat. Bp., 1990.

Strenk T. - Varga J.: A vetületnélküli rendszer eredete (A Cassini-féle "vetületi rendszer" ). Bp., 1986. OFTH pályázat.

Timár G. - Lévai P. - Molnár G. - Varga J.: A második világháború német katonai térképeinek koordináta-rendszere. Geodézia és Kartográfia. Bp., 2004/6.

Utasítás az országos kataszteri felmérés végrehajtására. Magyar Királyi Pénzügyminisztérium. Bp., 1910.

Utasítás az országos felmérés végrehajtására. Bp., 1943.

Varga J.: Vetülettan. Egyetemi jegyzet. Műegyetemi Kiadó. Bp., 2003.

Varga J.: Volt-e Ivanicsi (Ivanic) Sztereografikus Vetületi Rendszer? Geodézia és Kartográfia 2005/4. 21 - 26. old.

Vetületi szabályzat az EOV alkalmazására (MÉM-OFTH), Bp., 1975.

Zimányi T.: Geodézia jegyzetek I. Vörösváry Sokszorosítóipar. Bp., 1936.

	Jelölés	Régi gömbi vetület	Új gömbi vetület
alapfelület	-	Bessel-ellipszoid	IUGG1967-ellipszoid
képfelület	-	Régi Gauss-gömb	Új Gauss-gömb
fél-nagytengely	a	6 377 397,155 m	6 378 160 m
fél-kistengely	b	6 356 078,963 m	6 356 774,516 m
első numerikus excentricitás	ε	0,081 696 683 121 57	0,081 820 567 9407
Gauss-gömb sugara	R	6 378 512,966 m	6 379 743,001 m
	k	1,003 016 135 133	1,003 110 007 693
	n	1,000 751 489 594	1,000 719 704 936
	Φ_n	46° 32' 43,410 35"	47° 10' 0,000 00"
	φ_n	46° 30' 0,000 00"	47° 07' 20,057 80"
Ferrotól	Λ_o	36° 42' 53,5733"	-
Greenwichtől	Λ_o	19° 03' 05,715"	19° 02' 54,8584"

	Bessel-ellipszoidon	Régi Gauss-gömbön
HÉR	Φ_o= 48° 42' 56,317 96"	φ_o = 48° 40' 02,000 00"
HKR	Φ_o= 47° 08' 46,726 66"	φ_o= 47° 06' 00,000 00"
HDR	Φ_o= 45° 34' 36,586 90"	φ_o= 45° 31' 59,000 00"
Mindegyik rendszer	Λ_o= 36° 42' 53,573 330" (Ferrotól)	λ_o= 00° 00' 00,000 00"

Gauss - Krüger vetület	UTM vetület
m_o = 1	m_o = 0,9996
x	ΔN
y	ΔE
X	N
Y	E
X_o	FN (False Northing)
Y_o	FE (False Easting)